迷向二次型

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数学中,一个 F 上的二次型称为迷向isotropic)的如果在一个非零向量上取值为零。不然成为非迷向anisotropic)的。更具体地,如果 q 是域 F 上向量空间 V 上一个二次型,则 V 中一个非零向量 v 称为迷向的如果 q(v)=0。一个二次型是迷向的当且仅当对这个二次型存在非零迷向向量。

假设 (V,q) 是二次空间W 是一个子空间。如果 W 中所有向量都是迷向的 称之为 V 的一个迷向子空间;如果不存在任何非零迷向向量则称之为非迷向子空间。一个二次空间的迷向指标isotropy index)是迷向子空间的最大维数

例子[编辑]

1.双曲平面是一个二维二次空间,其形式为 xy

2. 有限维实向量空间 V 中一个二次型 q 是非迷向的当且仅当 q确定形式

  • 要么 q 是正定的,即 q(v)>0,对所有非零向量 v 属于 V
  • q 是负定的,即 q(v)<0 对所有非零向量 v 属于 V

更一般地,如果二次型是非退化的具有符号 (p,q),则迷向指标是 pq 的最大值。

3. 如果 F 是一个代数封闭域,例如复数域,而 (V,q) 是一个至少二维的二次空间,则它是迷向的。

4. 如果 F 是一个有限域而 (V,q) 是一个至少三维的二次空间,则它是迷向的。

5. 如果 Fp-进数Qp,而 (V,q) 是一个至少五维的二次空间,则它是迷向的。

与二次型分类的关系[编辑]

从二次型分类的观点来看,非迷向空间是任意维数的二次空间的基本构造块。对一般域 F,非迷向二次型的分类是一个非平凡问题。相反,迷向形式容易处理得多。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]