逆矩阵

逆矩陣（英语：inverse matrix）：在线性代数中，給定一个 n 階方陣 $\mathbf{A}$，若存在一 n 階方陣$\mathbf{B}$，使得 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n$，其中$\mathbf{I}_n$为 n 階单位矩阵，則稱$\mathbf{A}$是可逆的，且 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$的逆矩陣，記作$\mathbf{A}^{-1}$。

只有正方形（n×n）的矩陣，亦即方陣，才可能、但非必然有逆矩陣。若方阵$\mathbf{A}$的逆矩阵存在，则称$\mathbf{A}$为非奇异方阵或可逆方阵。

與行列式類似，逆矩陣一般常用於求解包含數個變數的數學方程式。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵$A$可逆，则$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$其中$A^*$是$A$的伴随矩阵。

注意：$A^*$中元素的排列特点是$A^*$的第$k$列元素是$A$的第$k$行元素的代数餘子式。要求得$A^*$即为求解$A$的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵$A$和$B$互逆，则$AB=BA=I$。由条件$AB=BA$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵$A$和$B$都是方阵。再由条件$AB=I$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是$n\times n$方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵$A$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在$A$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对$A$和$I$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵$A$被变为$I$时，$I$就被变为$A$的逆阵$B$。

广义逆阵

广义逆阵又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指Moore－Penrose伪逆，它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

用MS Excel求逆矩陣

1. 輸入$n\times n$的矩陣值，例如在(A1:B2)輸入$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$；
2. 在工作表中【選取】（反白）另一塊大小也是$n\times n$的空白格；
3. 找到指令【公式】→【數學與三角函數】→【MINVERSE】（意為Matrix Inverse）；
4. 在【MINVERSE】→【函數引數】→【Array（=陣列）】中點一下滑鼠，然後選取一開始已輸入值的矩陣(A1:B2)；
5. 同時按下Ctrl Shift Enter，使已選取的空白格成為使用同一公式之矩陣；
6. 便會得到逆矩陣$\begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 1 & -0.5 \end{bmatrix}$

参见

• 矩阵
• 广义逆阵
• 除法