逆矩阵

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提示:本条目的主题不是轉置矩陣
线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

逆矩陣(英语inverse matrix:在线性代数中,給定一个n方陣\mathbf{A},若存在一n階方陣\mathbf{B},使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n,其中\mathbf{I}_nn单位矩阵,則稱\mathbf{A} 可逆的,且\mathbf{B}\mathbf{A}逆矩陣,記作\mathbf{A}^{-1}

只有正方形(n×n)的矩陣,亦即方陣,才可能、但非必然有逆矩陣。若方阵\mathbf{A}的逆矩阵存在,则称\mathbf{A}非奇异方阵或可逆方阵。

與行列式類似,逆矩陣一般常用於求解包含數個變數的數學方程式。

求法[编辑]

伴随矩阵法[编辑]

如果矩阵A可逆,则A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}其中A^*A伴随矩阵

注意:A^*中元素的排列特点是A^*的第k元素是A的第k元素的代数餘子式。要求得A^*即为求解A余因子矩阵转置矩阵

初等变换法[编辑]

如果矩阵AB互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵AB都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是n\times n方阵,且rank(A) = rank(B) = n)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵A施以初等行变换(初等列变换)就相当于在A的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对AI施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵A被变为I时,I就被变为A的逆阵B

性质[编辑]

  1. \left (A^{-1}  \right )^{-1}=A
  2. (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}
  3. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  4. \left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}为A的转置
  5. \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}(det为行列式


广义逆阵[编辑]

广义逆阵又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指Moore-Penrose伪逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

用MS Excel求逆矩陣[编辑]

  1. 輸入n\times n的矩陣值,例如在(A1:B2)輸入
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
  2. 在工作表中【選取】(反白)另一塊大小也是n\times n的空白格;
  3. 找到指令【公式】→【數學與三角函數】→【MINVERSE】(意為Matrix Inverse);
  4. 在【MINVERSE】→【函數引數】→【Array(=陣列)】中點一下滑鼠,然後選取一開始已輸入值的矩陣(A1:B2);
  5. 同時按下Ctrl Shift Enter,使已選取的空白格成為使用同一公式之矩陣;
  6. 便會得到逆矩陣
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1.5 & -0.5 \end{bmatrix}

参见[编辑]

外部链接[编辑]