选择公理

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数学中,选择公理“AC”(axiom of choice)是一条集合论公理。它於1904年由恩斯特·策梅洛公式化。尽管最初有着争议,现在多数数学家都在使用着它。但仍有数学学派(主要在集合论内),认为要么拒绝选择公理,要么研究与选择公理矛盾的公理的推论。

陈述[编辑]

首先定义几个概念:

集族:指由非空集合组成的集合。

选择函数:它是一个集族上的函数。它规定:对于所有在集族X中的集合sf(s)是s的一个元素

那么,选择公理表示:

对于所有的集族,均存在选择函数。

或者:

设X是一个集族,则存在着在X上定义的一个选择函数f。

该定理也可表達為:

集族上的任意笛卡尔积總是非空的。

变体[编辑]

第二个版本的选择公理声称:

给定由相互不交的非空集合組成的任何集合,存在着至少一个集合,它與每个非空集合恰好有一个公共元素。

第三个版本声称:

对于任何集合AA幂集(減去空集)有一个选择函数。

使用这个版本的作者通常谈及“在A上的选择函数”,但要注意这裡选择函数的概念是稍微不同的。它的定義域A的幂集(减去空集),因此对任何集合A有意义;至於本文中其他地方用的定义,在“集合的搜集”上的选择函数的定義域是这个搜集,所以只对集合的集合有意义。透過這個變體的定義,选择公理也可以简洁的陈述为

所有集合有一个选择函数。[1]

它等价于

对于任何集合A有一个函数使得对于A的任何非空子集Bf(B)\in B

而选择公理的否定表达为:

有一个集合A使得对于所有函数f(在A的非空子集的集合上),有一个B使得f(B) \notin B

用途[编辑]

直到19世纪晚期,选择公理通常被隐含地使用着。例如,建立了只包含非空集合的集合X之后,数学家可以说"设对于X中所有sF(s)s的成员之一"。一般來说,要是不用选择公理,是不可能证明F的存在性的。這一點直到Zermelo之前似乎没有引起人们的注意。

不是所有的情況都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是,对于有限集合X,选择公理的有限版本可以从其他集合论公理得出。在这种情况下,它等价于说我们有多个(有限数目的)盒子,每个包含至少一个物体,则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。顯然我们可以这么做:從第一个盒子開始,选择其中的一个物体;到下一个盒子,选择一个物体;如此类推。盒子數量有限,所以我们的选择过程最终会结束。这里给出的选择函数是明确的:第一個盒子對應于第一个選擇的物体,第二個盒子對應于第二个選擇物体;如此类推。(此法之所以可行,是因为序对公理的原因。可以使用数学归纳法的原理做出对所有有限集合的形式证明。)

对于特定的无限集合X,也可以避免选择公理。例如,假设X的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元,所以要指定我们的选择函数,我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素,以及写出一个明确的表达式,说明我们的选择函数如何取值。在能夠指定一個明确选择方式的时候,选择公理都是没有必要的。

當缺乏从每个集合得到元素的直觀选择方式时,困难就出现了。如果我们不能做明确的选择,我们如何知道我们的这个集合存在?例如,假设X实数的所有非空子集的集合。首先我们也許想套用有限的情況去处理X。如果我们尝试从每个集合选择一个元素,那么,因为實數集合是无限不可數,我们的选择过程永远不会结束。亦因如此,我们永远不能生成对X的成员的选择函数。所以这種方法不能奏效。其次我们可以尝试給每个集合指定最小元素這種方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如,开区间 (0,1)没有最小元素:如果x在 (0,1)中,则x/2也在其中,而x/2总是严格的小于x。所以這種方法也不行。

我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素,是因為自然数上有一個自然良序: 所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。

因此,我們可以采取這樣的思路,"即使实数的正常排序並非良序,也有可能找到一个排序使得实数是良序的。 在这个排序下,總能夠选择实数非空子集的最小元素。這樣便得到了選擇函數"。问题就变成如何构造这样的排序。而事實上,“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”這一命題成立,当且仅当选择公理为真。

有必要用到选择公理的证明总是非构造性的:即使证明給出了一个对象,精确地说出那个对象卻是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义,则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如,构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的;构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理[來源請求],因为它断言了不能具體描述是什么的对象的存在。

结论[编辑]

哥德尔证明了选择公理的相对协调性。保罗·寇恩力迫法证明了选择公理的独立性。

外部链接[编辑]

  • Paul Howard at EMU有很多人仍然在为选择公理和它的推论而乐此不疲地工作。如果你有兴趣了解更多内容,请参考这个网站。

引用[编辑]

  1. ^ Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972 (1960), ISBN 0-486-61630-4, pp 240
Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 0-674-32449-8
  • 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
  • 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.
  • Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 0-387-90670-3
  • Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

参见[编辑]