选择公理

在数学中，选择公理或“AC”(axiom of choice)是一条集合论公理。它於1904年由恩斯特·策梅洛公式化。尽管最初有着争议，现在多数数学家都在使用着它。但仍有数学学派（主要在集合论内），认为要么拒绝选择公理，要么研究与选择公理矛盾的公理的推论。

陈述

首先定义几个概念：

集族：指由非空集合组成的集合。即集合的集合。

选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族 X 中的集合 s，f(s) 是 s 的一个元素。

那么，选择公理声称：

对于所有的集族，均存在选择函数。

或者：

设 X 是一个集族,则存在着在 X 上定义的一个选择函数 f。

该定理有以下变化表达：

非空集合的任意笛卡尔积是非空的。

一个否定的简洁公式化表达：

存在一个由非空集合所组成的集合，它没有选择函数。

变体

第二个版本的选择公理声称:

给定相互无交的非空集合的任何集合，存在着至少一个集合包含着与每个非空集合有精确的一个公共元素的集合。

某些作者使用第三个版本有效的声称:

对于任何集合A，A的幂集(减去空集)有一个选择函数。

使用这个公式化的作者经常谈论“在A上的选择函数”，但是仔细考虑过后这是稍微不同的选择函数的概念。它的域是A的幂集(减去空集)，并因此对任何集合A有意义，而通过在本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义，选择公理可以简洁的陈述为

所有集合有一个选择函数。

它等价于

对于任何集合A有一个函数使得对于A的任何非空子集B，$f(B)\in B$。

而选择公理的否定表达为:

有一个集合A使得对于所有函数f(在A的非空子集的集合上)，有一个B使得 $f(B) \notin B$。

用途

直到 19世纪晚期，选择公理被经常隐含地使用着。例如，建立包含非空集合的集合 X 之后，数学家可以说 "设对于 X 中所有 s 有 F(s) 是 s 的成员之一"。一般的说，没有选择公理而证明 F 存在是不可能的， 直到 Zermelo 之前没有引起人们的注意。

不是所有的环境需要选择公理。 选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是对于有限集合 X，选择公理可以从其他集合论公理得出。 在这种情况下它等价于说我们有多个(有限数目的)盒子，每个包含至少一个物体，则我们可以从每个盒子精确的选择一个物体。我们可以明显的这么做: 第一个盒子，选择一个物体；到下一个盒子，选择一个物体；以此类推。 只有有限个盒子，所以我们的选择过程最终会结束。 虽然这里我们没有给出一个明确的选择函数。（此法之所以可行，是因为序对公理的原因。可以使用数学归纳法的原理做出对所有有限集合的形式证明。)

对于特定的无限集合 X，可能避免选择公理。 例如，假设 X 的元素是自然数的集合。 每个自然数的非空集合都有一个最小元素，所以要指定我们的选择函数， 我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元素。 这带给我们从每个集合得到元素的明确选择， 我们可以写出一个明确的表达，说明我们的选择函数如何取值。 在有可能指定明确选择的时候，选择公理都是没有必要的。

在没有从每个集合得到元素的自然选择的时候困难出现了。 如果我们不能做明确的选择， 我们如何知道我们的这个集合存在? 例如，假设 X 是实数的所有非空子集的集合。 首先我们象它是有限的那样去处理 X。 如果我们尝试从每个集合选择一个元素，那么， 因为實數集合是无限不可數，我们的选择过程永远不会结束， 作为结论，我们永远不能生成对 X 的成员的选择函数。所以这不能成立。

其次我们可以尝试从每个元素指定最小元素的技巧。 但是某些实数的子集没有最小元素。 例如，开区间 (0,1) 没有最小元素: 如果 x 在 (0,1) 中，则 x/2 也在其中，而 x/2 总是严格的小于 x。 所以取最小元素不成立。

我们能够从自然数的非空子集选择最小元素的理由是自然数有可定义的良序的事实: 所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。

如果我们聪明可以说，"即使实数的正常排序是不成立的，也有可能找到一个排序使得实数是良序的。 我们的选择函数可以在这个排序下选择实数非空子集的最小元素"。 问题就变成如何构造这样的排序。事實上，存在一个排序使得所有集合可以是良序的，当且仅当选择公理为真。

要求选择公理的证明总是非构造性的: 即使证明产生了一个对象，精确地说出那个对象是不可能的。 如果我们不能写出选择函数的定义，则我们的选择就不是非常明确的。 这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。

例如，构造主义者论断说所有存在的证明都应当是完全明确的； 构造任何存在的对象应当是可能的。 他们拒绝选择公理， 因为它断言了不能说出是什么的对象的存在。

结论

哥德尔证明了选择公理的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理的独立性。

外部链接

• Paul Howard at EMU 有很多人仍然在为选择公理和它的推论而乐此不疲地工作。如果你有兴趣了解更多内容，请参考这个网站。

引用

• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261-81. PDF download via digizeitschriften.de

Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 0-674-32449-8

• 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
• 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.

• Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 0-387-90670-3
• Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

参见

• 佐恩引理
• 良序定理