选择函数

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選擇函數是一個函數f,其定義域X為一堆非空集合組成的集合,且對每一個在X內的S,均有f(S)∈S。換句話說,f會在X的每一集合中恰好選取一個元素。

選擇公理(AC)斷言,每一非空集合組成的集合都會有一選擇函數。另一較弱的選擇公理-可數選擇公理(CC)則斷言每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函數。但無論如何,即使沒有AC或CC,某些集合還是可以有選擇函數。

  • X為一非空集合組成的有限集合,則可以建立一選擇函數,由每一個X的元素內選取一個元素。這只需要做有限多次的選擇,所以不需要用到AC或CC。
  • X的每一元素都是非空的良序集,則可以由每一個X的元素中選取其極小元。如此,或許需要有無限多次的選擇,但我們有明確的選擇規則,所以也不需要AC或CC。分辨「良序」和「可良序」是很重要的:當X的元素都是可良序的,那麼我們需要選取每一元素的一良序,而這又可能需要無限多次隨意的選擇,因此需要有AC(或CC,若X為可數無限)。
  • X的每一元素都是非空集合,且其聯集\bigcup X為可良序的,則有可能可以選擇一此聯集的良序,且給X內每一元素誘導出相應的良序,如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在。在此一例子裡,可以只做一次選擇便決定X內每一元素的良序,故不需要AC或CC。(此一例子表示出若良序定理成立,即每一集合若皆可良序的話,則AC成立。其逆命題亦為真,但並不那麼顯然。)

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