逐点

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数学中,限定词逐点用於表明考虑某函数f 的每一个值f(x) 的确定性质。一类重要的逐点概念是逐点运算,这种运算是定义在函数上的运算,是将定义域上的每一点的函数值分别进行运算。重要的关系也可以被定义为逐点的。

逐点算子[编辑]

例子包括:

逐点加法:(f+g)(x)  = f(x)+g(x)\,
逐点乘法:(f\cdot g)(x)  = f(x) \cdot g(x)
与标量的逐点乘法:(\lambda f)(x)  = \lambda \cdot f(x)

逐点乘积标量

逐点运算继承了来自陪域的对应运算的性质,这些性质包括结合律交換律分配律。函数上的运算不是逐点运算的有卷积

逐点关系[编辑]

序理论中,普遍将逐点定义为函数上的偏序关系。若AB偏序集,则函数集AB 可被表示成偏序关系 fg 当且仅当∀x ∈ A时f(x) ≤ g(x) 。逐点序也继承了基础偏序集的一些性质。例如,若A与B是连续格,则具有逐点序的函数集AB 也是连续格。[1]在函数上我们可以利用逐点序定义其他重要的概念,例如[2]

  • 类似地,投影算子k 被称为核算子当且仅当k ≤ idA

无限性逐点关系的一个例子是函数的逐点收敛

f_n:X \longrightarrow Y

若对於X 中的每一x 都有

\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x),

则函数序列

\{f_n\}_{n=1}^\infty

逐点收敛至函数f

参考文献[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Gierz, p. xxxiii
  2. ^ Gierz, p. 26

参考书目[编辑]

序理论例子出处:

  • T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
  • G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

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