逐點收斂

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数学中,逐点收敛(或称简单收敛)描述的是一列函数向一个特定函数趋近的现象中的一种。简单来说,就是对定义域里的每一点,这个函数列在这点上的取值都趋于一个极限值。这时,被趋近的这个特定函数称作函数列的逐点极限。在各种收敛中,逐点收敛最为直观,容易想象,但不能很好地保持函数的一些重要性质,比如说连续性等等。

定义[编辑]

(f_n)是一列拥有同样定义域的函数。(f_n)逐点收敛当且仅当存在函数f,使得对定义域中的每个x,都有:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)

这时我们就说(f_n)逐点收敛到f

性质[编辑]

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛。后者的定义如下:

(f_n)一致收敛到 f 当且仅当在定义域I
\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \,\}=0

相比较下,一致收敛是一个更“强”的概念。一致收敛的函数列必然逐点收敛,反之则不尽然。一个简单的例子是开区间(0,1)上的函数列f_n: x \longmapsto x^n(f_n)逐点收敛到函数f: x \longmapsto 0,但并不一致收敛到0,因为

\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in (0,1) \,\}=1

一致收敛能够保持函数列的连续性,但逐点收敛不能。例如,上述函数f_n: x \longmapsto x^n在闭区间[0,1]上连续,但是 (f_n) 逐点收敛到的函数 ff[0,1)上取值为0,在1上取值为1,f不是连续函数。

(f_n)中函数的取值可以是实数,也可以是任何使得其定义有意义的拓扑空间。一致收敛函数的适用范围则相对较小,只能在一个度量空间中定义,因为定义中使用到了距离的概念。

拓扑性质[编辑]

逐点收敛也可以理解为由半范数||f||_x=|f(x)|.\,建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果f定义域值域都是紧致的,根据吉洪诺夫定理,这个空间也是紧致的。

测度论[编辑]

测度理论中,对一个可测空间上的可测函数几乎处处收敛的概念,也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明,在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛,意味着在较小的集合上一致收敛。

参见[编辑]