逐點收斂

在数学中，逐点收敛（或称简单收敛）描述的是一列函数向一个特定函数趋近的现象中的一种。简单来说，就是对定义域里的每一点，这个函数列在这点上的取值都趋于一个极限值。这时，被趋近的这个特定函数称作函数列的逐点极限。在各种收敛中，逐点收敛最为直观，容易想象，但不能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。

定义

设$(f_n)$是一列拥有同样定义域的函数。$(f_n)$逐点收敛当且仅当存在函数$f$，使得对定义域中的每个$x$，都有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$

这时我们就说$(f_n)$逐点收敛到$f$。

性质

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛。后者的定义如下：

$(f_n)$一致收敛到 $f$ 当且仅当在定义域$I$中

$\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \,\}=0$

相比较下，一致收敛是一个更“强”的概念。一致收敛的函数列必然逐点收敛，反之则不尽然。一个简单的例子是开区间$(0,1)$上的函数列$f_n: x \longmapsto x^n$，$(f_n)$逐点收敛到函数$f: x \longmapsto 0$，但并不一致收敛到0，因为

$\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in (0,1) \,\}=1$。

一致收敛能够保持函数列的连续性，但逐点收敛不能。例如，上述函数$f_n: x \longmapsto x^n$在闭区间$[0,1]$上连续，但是 $(f_n)$ 逐点收敛到的函数 $f$，$f$在$[0,1)$上取值为0，在1上取值为1，$f$不是连续函数。

$(f_n)$中函数的取值可以是实数，也可以是任何使得其定义有意义的拓扑空间。一致收敛函数的适用范围则相对较小，只能在一个度量空间中定义，因为定义中使用到了距离的概念。

拓扑性质

逐点收敛也可以理解为由半范数$||f||_x=|f(x)|.\,$建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果$f$的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。

测度论

在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在较小的集合上一致收敛。

参见

• 一致收敛
• 拓扑空间