本页使用了标题或全文手工转换

速率

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
高速行進的汽車

速率物理学中的一个基本概念,用来表示物体运动的快慢程度。

在日常生活中,速率常常和速度混用,但两者在物理学中对应着不同的概念。速率是一个标量,只有大小,没有方向。它的量纲是长度除以时间。速度的量纲和速率相同,但速度是有方向的向量[1]。物体的瞬时速率等于瞬时速度的大小,而平均速率则不一定等于平均速度的大小。在日常生活中,也用“速度”这个词表示速率的意思。

国际单位制中,速率的單位為米每秒(m/s),但日常生活中較常用的單位是千米每小時(km/hr)或是英制系統下的英里每小時(mph)。海上船只或物体的行進速率,一般會使用作為單位。

依照狭义相对论,能量或信息所能傳遞的最快速率為真空中的光速c = 299,792,458 米每秒,大約是1,079,000,000千米每小时或671,000,000英里每小時。静止质量不为零的物質要加速到此速率,需要無限大的能量。在相對論物理學中,會用快度來取代古典力學中的速度[2]

定義[编辑]

用数学语言来描述,如果一个物体在一段时间t内移动的路程为s,那么它的平均速率(用\bar{v}表示)便是st的比,具体可由下式给出:

\bar{v}=\frac{s}{t}

例如,一辆汽车在2小时内行驶了60公里,它在这段时间内的平均速率是30公里每小时。而一个物体在某个时刻的速率,则是它在这个时刻前后的一段极短时间中经过的路程ds与这段时间长度dt的比:

v=\frac{ds}{dt}

精确地说,假设路程s是一个关于时间t的函数,那么物体在某个时刻t_0瞬时速率,是以上比值在dt趋向于0时的极限值。或者说,是st_0时刻对时间的导数

v_{t_0}=\left.\lim_{dt \to 0}\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} =  \left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0}

在某些简化的物理模型中,物体在某个时刻之前的速率v_{t_0}^-可能不等于其之后的速率 v_{t_0}^+

v_{t_0}^- = \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t) - s(t-dt)}{dt}\right|_{t=t_0} \neq  \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t+dt) - s(t)}{dt}\right|_{t=t_0} =  v_{t_0}^+

比如简单的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞后速率。但在经典物理学中,总假设物体的路程,以及瞬时速度和瞬时速率都是连续变化的。简化模型中出现不连续的速率是忽略了极短时间内速率变化的结果。

物体的瞬时速率等于其瞬时速度的大小。然而,物体的平均速率一般不等于其平均速度的大小[3]。盖因路程和位移的概念不同。例如一个物体做匀速圆周运动一周,则其平均速率为一个不为零的定值,但其平均速度是0。

例子[编辑]

瞬時速率[编辑]

車輛上的速度表英语speedometer可以顯示任何时刻的瞬時速率[4]p.42。瞬時速率可能會隨時間而變動,一辆車在某个时刻的瞬時速率50公里/小時,但它維持此速率的時間可以是一秒、一分钟或一小时。不过假若此车連續一小時以50公里/小時的(瞬时)速率行驶,則它所走路程為50公里。

平均速率[编辑]

如果一辆車在一小時內行驶了80公里,則它在这一个小时中的平均速率為80公里/小時;若一辆車在第一个小時內行驶了140公里,在接下来的三个小时中行驶了180公里,則它在这四小时内的平均速率也是80公里/小時。但若分别考慮此車第一个小時以及其后三个小時内的平均速率,其數值就不是80公里/小時了。

平均速率可能會和過程中的瞬時速率有相當的差異[4]p.42。若已知平均速率和時間,可以求得這段時間所走的路程:

s = \bar{v}t

依上述公式可得,若一辆車行驶了四小時,這四小時的平均速率為80公里/小時,則它在四个小时中行驶的總路程為320公里。

若以圖像的方式,可以利用路程-時間圖来显示速率。路程-時間圖上的曲线表示了物体移动的路程是如何随时间变化的。曲线上任意一點对应着一个时刻和物体在这一时刻移动的路程。曲线在一点上切線斜率即為此时刻的瞬時速率,而曲线上两點的割线斜率即為对应的二个时刻之間的平均速率。

切線速率[编辑]

物体在单位时间内经历的路程,是为速率或线速率,而如果物体在做圆周运动,那么它的速率也称为切线速率[4]p.131,因为它运动的方向是沿着圆周的切线方向。旋转木马转一圈时,位置靠外的木马走过的路程比位置靠内的木马要多。这说明位置靠外的木马平均速率比位置靠内的木马要大。 對於圓周運動的物體而言,切線速率及線速率二者可互換使用,二者的單位均為m/s或km/h。

轉速英语Rotational speed或角速率是指單位時間内轉的圈數。旋转木马中,不同位置的木马切線速率可能不同,但所有木马在相同時間內都旋轉了相同的圈數,因此其角速率均相同。轉速一般以每分鐘轉速或是以單位時間的弧度作为单位。旋轉一圈的弧度略大於6個弧度(精確值為2 \pi弧度)。若將角速率加上方向,則成為角速度,前者為一純量,後者則為一向量。若两片CD每秒都旋轉20圈,一片順時針旋轉,另一片逆時針旋轉,那么二者的角速率相同,但角速度不同。

圆周运动的物体(或距旋轉軸固定距離的一點),其切線速率和轉速成正比[4]p.131。不過切線速率和轉速不同,一點的切線速率和距旋轉軸的距離有關,距旋轉軸不同距離的二點,其轉速相等,但切线速率不相等。旋轉軸上的点,其切線速率甚至為零。在一旋轉的物體上,離旋轉軸越遠,會發現线速率越快。若轉速固定,则切線速率和一點距旋轉軸的距離成正比[4]p.132,因此可得下式:

v \sim \!\, r \omega

其中

v為切線速率
ω為轉速
r為距旋轉軸的距離

因此只要轉速變快或是距旋轉軸的距離變長,都會使切線速度變快。

若切線速率、轉速及距離選擇適當的單位(例如切線速率單位選擇m/s,轉速單位選擇弧度/s,距離單位選擇m),上式的比例關係可以變成以下的等式:

v = r\omega

因此,一個系統只要所有部份的角速度相同,其切線速度只和距旋轉軸的距離有關。(上述切線速度和距離的比例關係不適用於行星的運轉,因為行星在不同位置的角速度不同)

单位[编辑]

速率的单位包括:

速率各单位间重要的换算关系包括:

常見速率單位之間的轉換
m/s km/h mph ft/s
1 m/s = 1 3.6 2.236936 1.943844 3.280840
1 km/h = 0.277778 1 0.621371 0.539957 0.911344
1 mph = 0.44704 1.609344 1 0.868976 1.466667
1 節 = 0.514444 1.852 1.150779 1 1.687810
1 ft/s = 0.3048 1.09728 0.681818 0.592484 1

粗體字的數值是精確值)

不同速率的例子[编辑]

速率 m/s ft/s km/h mph 註解
大陸飄移的平均速率 0.00000001 0.00000003 0.00000004 0.00000002 4公分/年,速率依位置而異
普通蜗牛的速率 0.001 0.003 0.004 0.002 1毫米每秒
轻快地步行 1.7 5.5 6 4
奥林匹克短跑选手(100米内的平均速率) 10 32.8 36 22
大部份郊區道路的速限 13.8 45.3 50 30
台北101观光电梯 16.7 54.8 60.6 37.6 1,010 m/min[5]
香港巴士的最高運行速率 20 65.6 72 44.7
一般鄉間道路的速限 24.6 80.66 88.5 56
萨菲尔-辛普森飓风等级的一級颶風 33 108 119 74 一分鐘平均風速需大於此數值
法国高速公路限速 36.1 118 130[6] 81
人力驅動的最快速度 37.02 121.5 133.2 82.8 加拿大自行車手Sam Whittingham利用斜躺腳踏車英语recumbent bicycle創下的記錄[7]
漆彈槍的槍口初速 90 295 320 200
波音747-8巡航速率 255 836 917 570 0.85马赫
陸上速度記錄 341.1 1119.1 1227.98 763 超音速推進號在1997年10月15日創下[8]
在海平面大气压、20°C(293开尔文)的干燥空气中的声速 343 1,125 1,235 768 由定义=1马赫
AK-47突擊步槍槍口初速 710 2,330 2,600 1600
正式的飞行速度记录 980 3,215 3,530 2,194 SR-71黑鳥式偵察機在1976年7月28日創下[9]
航天飞机返回地球時的速率 7,800 25,600 28,000 17,500
相對於地球的逃逸速度 11,200 36,700 40,000 25,000 地表的逃逸速度為11.2 km/s[10]
地球的平均公转速率 29,783 97,713 107,218 66,623
真空中的光速(符号c 299,792,458 983,571,056 1,079,252,848 670,616,629

参见[编辑]

Wiktionary-logo-zh.png
维基词典上的词义解释:

参考资料[编辑]

  1. ^ 速度、速率及加速度. 台灣師範大學物理系. [2013-10-12]. 
  2. ^ Rapidity and invariant cross sections - Phenix - Brookhaven National (PDF). [2013-10-12]. 
  3. ^ 平均速度. 台灣長庚大學. 2005-07-28 [2013-10-12]. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Paul G. Hewitt. Conceptual Physics. USB: Pearson Addison Wesley. 2006. ISBN 0805393757. 
  5. ^ 中国电梯行业大事简记. 上海勒邦電梯. 2009-05-19 [2013-10-12]. 
  6. ^ 法国开车初体验. 旭途旅遊. [2013-10-12]. 
  7. ^ The Recumbent Bicycle and Human Powered Vehicle Information Center. Wisil.recumbents.com. [2013-10-12]. 
  8. ^ Thrust SSC Run database 
  9. ^ 大陸新聞中心. 軍武/「黑鳥」如影隨形 比子彈還快的飛機報你知. 明日報 (今日傳媒公司). 2013-02-02 [2013-10-12]. 
  10. ^ 宇宙航行. Rc.k12.com.cn. [2013-10-12]. 

外部链接[编辑]