# 連續型均勻分布

參數 概率密度函數 累積分佈函數 $a,b \in (-\infty,\infty) \,\!$ $a \le x \le b \,\!$ $\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \mbox{for }a \le x \le b \\ \\ 0 & \mathrm{for}\ xb \end{matrix} \,\!$ $\begin{matrix} 0 & \mbox{for }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{for }a \le x < b \\ 1 & \mbox{for }x \ge b \end{matrix} \,\!$ $\frac{a+b}{2} \,\!$ $\frac{a+b}{2} \,\!$ 任何$[a,b] \,\!$内的值 $\frac{(b-a)^2}{12} \,\!$ $0 \,\!$ $-\frac{6}{5} \,\!$ $\ln(b-a) \,\!$ $\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$ $\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!$

## 定义

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \leq x \leq b \\ 0 & \mbox{elsewhere} \end{matrix}\right.$
$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{for }x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \le x < b \\ 1 & \mbox{for }x \ge b \end{matrix}\right.$

MGF：

$M_X(t) = E(e^{tx}) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{b-a}$

## 公式

$E[X]=\frac{a+b}{2}$

$VAR[X]=\frac{(b-a)^2}{12}$

$P(c \le x\le d)=F(d) - F(c)=\int_c^d \frac{1}{b-a}\, dx=\frac{d-c}{b-a}$