連續型均勻分布

连续型均匀分布

機率 密度 函數
累積分布函數
參數	$a,b \in (-\infty,\infty) \,\!$
值域	$a \le x \le b \,\!$
概率密度函数	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \mbox{for }a \le x \le b \\ \\ 0 & \mathrm{for}\ xb \end{matrix} \,\!$
累積分布函數	$\begin{matrix} 0 & \mbox{for }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{for }a \le x < b \\ 1 & \mbox{for }x \ge b \end{matrix} \,\!$
标记	{{{notation}}}
期望值	$\frac{a+b}{2} \,\!$
中位數	$\frac{a+b}{2} \,\!$
眾數	任何$[a,b] \,\!$内的值
方差	$\frac{(b-a)^2}{12} \,\!$
偏態	$0 \,\!$
峰態	$-\frac{6}{5} \,\!$
熵值	$\ln(b-a) \,\!$
動差生成函數	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$
特徵函數	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!$

連續型均匀分布，如果连续型随机变量$\mathit{X}$具有如下的概率密度函数，则称$\mathit{X}$服从$[a,b]$上的均匀分布（uniform distribution）,记作$X \sim U[a,b]$

概率密度函数：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \leq x \leq b \\ 0 & \mbox{elsewhere} \end{matrix}\right.$

CDF：

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{for }x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \le x < b \\ 1 & \mbox{for }x \ge b \end{matrix}\right.$

MGF：

$M_X(t) = E(e^{tx}) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{b-a}$

期望值：

$E[X]=\frac{a+b}{2}$

變異數：

$VAR[X]=\frac{(b-a)^2}{12}$

均匀分布具有下属意义的等可能性。若$X \sim U[a,b]$,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

$P(c \le x\le d)=\int_c^d \frac{1}{b-a}\, dx=\frac{d-c}{b-a}$

只与区间[c,d]的长度有关，而与他的位置无关。