連續型均勻分布

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连续型均匀分布
機率密度函數
Uniform distribution PDF.png
累積分布函數
Uniform distribution CDF.png
參數 a,b \in (-\infty,\infty) \,\!
值域 a \le x \le b \,\!
概率密度函数 
 \begin{matrix}
 \frac{1}{b - a} & \mbox{for }a \le x \le b \\ \\
 0 & \mathrm{for}\ xb
 \end{matrix}
 \,\!
累積分布函數 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{for }a \le x < b \\
    1 & \mbox{for }x \ge b
    \end{matrix}
     \,\!
标记 {{{notation}}}
期望值 \frac{a+b}{2} \,\!
中位數 \frac{a+b}{2} \,\!
眾數 任何[a,b] \,\!内的值
方差 \frac{(b-a)^2}{12} \,\!
偏態 0 \,\!
峰態 -\frac{6}{5} \,\!
熵值 \ln(b-a) \,\!
動差生成函數 \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!
特徵函數 \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!

連續型均匀分布,如果连续型随机变量\mathit{X}具有如下的概率密度函数,则称\mathit{X}服从[a,b]上的均匀分布(uniform distribution),记作X \sim U[a,b]

定义[编辑]

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量X可给出如下函数:

概率密度函数


  f(x)=\left\{\begin{matrix}
  \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \leq x \leq b \\
  0 & \mbox{elsewhere}
  \end{matrix}\right.

累积分布函数


  F(x)=\left\{\begin{matrix}
  0 & \mbox{for }x < a \\
  \frac{x - a}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \le x < b \\
  1 & \mbox{for }x \ge b
  \end{matrix}\right.

MGF:


M_X(t) = E(e^{tx}) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{b-a}

公式[编辑]

期望值中值: 是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

E[X]=\frac{a+b}{2}

方差

VAR[X]=\frac{(b-a)^2}{12}

均匀分布具有下属意义的等可能性。若X \sim U[a,b],则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率

P(c \le x\le d)=F(d) - F(c)=\int_c^d \frac{1}{b-a}\, dx=\frac{d-c}{b-a}

只与区间[c,d]的长度有关,而与他的位置无关。