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連續性方程式

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在物理學裏,連續性方程式continuity equation)乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。由於在各自適當條件下,質量能量動量電荷等等,都是守恆量,很多種傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式乃是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律比較強版。在本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達同樣的點子──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。

每一種連續性方程式都可以以積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以以微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。應用散度定理,可以從微分形式推導出積分形式,反之亦然。

概論[编辑]

微分形式[编辑]

一般的連續性方程式,其微分形式為

\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = s

其中,\varphi 是某物理量 q 的密度(物理量每單位體積),\mathbf{f}q 的流量密度(物理量每單位面積每單位時間)的向量函數(vector function),sq 的生成量每單位體積每單位時間。

假若 s>0 則稱 s 為「源點」;假若 s<0 則稱 s 為「匯點」。假設 \varphi 是守恆量,不能夠生成或湮滅(例如,電荷),則 s=0 ,連續性方程式變為

\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = 0

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式,這方程式可以用來表示任意連續性方程式。這方程式也是平流方程式advection equation)的推廣。

其它物理學裏的方程式,像電場高斯定律高斯重力定律Gauss' law for gravity),都具有類似連續性方程式的數學形式,但是通常不會稱為連續性方程式,因為 \mathbf{f} 並不代表真實物理量的流動。

積分形式[编辑]

在連續性方程式的積分形式裏,\mathbb{S} 是包住體積 \mathbb{V} 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面(以藍色顯示),\mathbb{S} 沒有邊界;而圖內右邊的曲面都有邊界(以紅色顯示)。

根據散度定理,連續性方程式可以寫為等價的積分形式:

 \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = S

其中,\mathbb{S} 是包住體積 \mathbb{V} 的任意固定(不隨時間改變)閉曲面,Q 是在體積 \mathbb{V} 內的 q 總量,S=\int_{\mathbb{V}}s\ \mathrm{d}^3r 是在積分體積 \mathbb{V} 內源點與匯點的總生成量每單位時間,\mathrm{d}\mathbf{a} 是微小面向量積分元素。

舉一簡例,假設 \mathbb{V}台北101大樓Q 是在大樓內某時間的總人數,\mathbb{S} 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等,共同組成的曲面,則連續性方程式表明,當人們進入大樓時(代表穿過曲面的內向通量),或當大樓裏面的孕婦生產時(代表源點的 s>0 ),在大樓裏面的總人數會增加;而當人們離開大樓時(代表穿過曲面的外向通量),在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論[编辑]

在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達局域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度 \rho 的變率與電流密度 \mathbf{J} 的散度,兩者的代數和等於零:

\frac{ \partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0

導引[编辑]

馬克士威-安培方程式

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \ \epsilon_0  \frac{ \partial E }{\partial t}

其中,\mathbf{B}磁場\mathbf{E}電場\mu_0磁常數\epsilon_0電常數

取散度於方程式的兩邊,由於旋度散度必是零,

0= \mu_0\nabla \cdot \mathbf{J} +\mu_0\epsilon_0 \frac{ \partial (\nabla \cdot\mathbf{E})}{\partial t}

高斯定律的方程式為

\nabla \cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0

將這方程式代入,可以得到

\frac{ \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}=0

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流[编辑]

四維電流密度定義為

J^{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\  (c \rho , \mathbf{J}) = (c \rho , J_x, J_y , J_z)

其中,\alpha 標記哪一個時空坐標,c光速

電荷守恆可以簡潔地表達為四維電流密度的散度,即連續性方程式

\partial_{\alpha} J^{\alpha}=0

其中,\partial_{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\  (\frac{ \partial}{\partial r^0},\frac{ \partial}{\partial r^1},\frac{ \partial}{\partial r^2},\frac{ \partial}{\partial r^3})
= (\frac{ \partial}{c\partial t},\frac{ \partial}{\partial x},\frac{ \partial}{\partial y},\frac{ \partial}{\partial z})

流體力學[编辑]

流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。連續性方程式類比於電路學克希荷夫電流定律。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

其中, \rho 是流體質量密度, \mathbf{u} 是流速向量場,兩者相乘後為质量通量

假設流體是不可壓縮流,則密度  \rho 是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]

\nabla \cdot (\mathbf{u}) = 0

這意味著,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,局域的體積變率為零。

在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆

能量[编辑]

根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這導致「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律Laws of thermodynamics)外,又一種關於能量守恆的數學論述。以方程式表達,

\frac{ \partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{q}= 0

其中,u 是能量密度(能量每單位體積),q 是能量通量向量(數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間,方向為截面的法向方向)。

根據傅立葉定律Fourier's law),對於均勻傳導介質,

 \mathbf{q} = -k \nabla T

其中,k熱導率T溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為

 \frac{ \partial u}{\partial t} - k\nabla^2T= 0

量子力學[编辑]

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 \Psi(x,t) 。定義機率流 \mathbf{J}

\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)

其中,\hbar約化普朗克常數m 是質量, \Psi^* \Psi共軛複數 \mbox{Im}() 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律[编辑]

機率流滿足量子力學的連續方程式

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0

其中,\rho = |\Psi|^2 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0(1)

其中,\mathbb{V} 是任意三維區域,\mathbb{S}\mathbb{V} 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 \mathbb{V} 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 \mathbb{V} 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 \mathbb{V} 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引[编辑]

測量粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率 P

P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}

機率對於時間的導數是

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}(2)

假設 \Psi含時薛丁格方程式

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi

其中,U(\mathbf{r})位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}

應用一則向量恆等式,可以得到

\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}

這相等式對於任意三維區域 \mathbb{V} 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London