逻辑与

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逻辑数学中,逻辑合取逻辑与是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”,其结果为“真”,否则其结果为“假”。

定义[编辑]

逻辑与是两个逻辑变量的一种运算,经常是两个命题的运算。它满足:当且仅当其两个变量的真值都为真时,其结果为真。

真值表[编辑]

A与B的真值表(也写作A\andB(逻辑学),A && B(计算机科学),或A\cdotB(电子学))。

A B &

合成与分解规则[编辑]

作为一种推理规则,联言推理的合成式是经典逻辑中简单且有效论证形式。这个论证形式有两个前提,AB,可以直观地推出他们的合取。

A,
B.
因此AB.

逻辑运算符写作:

 A,
 B
 \vdash A \and B

下面的例子是一个满足联言推理的合成式的论证:

1小于2
6大于5
因此,1小于2,而且6大于5。

联言推理的分解式是另一个在经典逻辑中简单且有效论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

AB
因此A

...或者,

AB.
因此B.

逻辑运算符描述为,

 A \and B
 \vdash A

...或者

 A \and B
 \vdash B

性质[编辑]

逻辑与满足以下性质:

(A \lor (B \land C)) \equiv ((A \lor B) \land (A \lor C))
(A \rightarrow B) \rightarrow ((A \land C) \rightarrow (B \land C))
  • 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
  • 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真(1)和假(0),逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用[编辑]

位运算[编辑]

逻辑与常在位运算中使用,比如:

  • 0 and 0 = 0
  • 0 and 1 = 0
  • 1 and 0 = 0
  • 1 and 1 = 1
  • 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用[编辑]

在高等计算机编程中,逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写,需要"AND"符号。

在计算机科学中,AND运算符可以用来构造位屏蔽,以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算[编辑]

集合论中的运算是用逻辑与来定义的:xAB当且仅当(xA) ∧ (xB)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质,诸如结合律,交换律,分配律,及德·摩根定律

参见[编辑]

相关网页[编辑]