逻辑与

文氏图 $A \and B$

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。

定义

逻辑与是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。

真值表

A与B的真值表（也写作A$\and$B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A$\cdot$B（电子学））。

A	B	&
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

合成与分解规则

作为一种推理规则，联言推理的合成式是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

A,

B.

因此A且B.

用逻辑运算符写作：

$A,$

$B$

$\vdash A \and B$

下面的例子是一个满足联言推理的合成式的论证：

1小于2

6大于5

因此，1小于2，而且6大于5。

联言推理的分解式是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

A且B。

因此A。

...或者，

A且B.

因此B.

用逻辑运算符描述为，

$A \and B$

$\vdash A$

...或者

$A \and B$

$\vdash B$

性质

逻辑与满足以下性质：

• 结合律: $A \land (B \land C) \equiv (A \land B) \land C$

• 交换律: $A \land B \equiv B \land A$

• 分配律: $(A \land (B \lor C)) \equiv ((A \land B) \lor (A \land C))$

$(A \lor (B \land C)) \equiv ((A \lor B) \land (A \lor C))$

• 幂等律: $A \land A \equiv A$

• 单调性: $(A \rightarrow B) \rightarrow ((C \land A) \rightarrow (C \land B))$

$(A \rightarrow B) \rightarrow ((A \land C) \rightarrow (B \land C))$

• 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。

• 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

与门

位运算

逻辑与常在位运算中使用，比如：

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1

• 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用

在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。.

交集运算

集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

参见

• 与门

相关网页

• Wolfram Mathematics Conjunction
• All Math Words Encyclopedia Conjunction