逻辑异或

文氏图 $A \oplus B$

在逻辑学中，逻辑算符异或（符号为XOR或EOR或⊕）是对两个运算元的一种逻辑析取类型。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真^[1]。转化为命题，就是：“两者的值不同。”或“有且仅有一个为真。”

两个运算元（命题）：A与B的异或一般写成A异或B，或者写成 $A \quad \mathrm{XOR} \quad B$ 、 $A \oplus B$ 、 $A \neq B$ 等等。在C语言中，写作A^B。

[编辑] 真值表

异或运算 $A \oplus B$ 的真值表如下：

A	B	⊕
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	F

可以注意到无论怎样改变第一行中 $A$ 、 $B$ 和 $\oplus$ 的位置，真值表都是成立的。

[编辑] 其它表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以被其他逻辑算符表示为：

$\begin{matrix} A \oplus B & = & (A \land \lnot B) & \lor & (\lnot A \land B) = A\overline{B} + \overline{A}B \\ \\ & = & (A \lor B) & \land & (\lnot A \lor \lnot B) = (A+B)(\overline{A}+\overline{B}) \\ \\ & = & (A \lor B) & \land & \lnot (A \land B) = (A+B)(\overline{AB}) \end{matrix}$

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

$\begin{matrix} A \oplus B & = & \lnot ((A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)) \end{matrix}$

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。 $\wedge$ $\lor$

[编辑] 与近世代数的联系

尽管算子 $\wedge$ （逻辑合取）与 $\lor$ （逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统 $(\{T, F\}, \wedge)$ and $(\{T, F\}, \lor)$ 只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统 $(\{T, F\}, \oplus)$ 是一个交换群。因此，算子 $\wedge$ 与 $\oplus$ 的结合在集合 $\{T, F\}$ 上作用就产生了最基本的二元域 $F_2$ 。这个域可以得出所有运用 $(\land, \lor)$ 可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。