逻辑异或

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在數位邏輯中,逻辑算符互斥或閘exclusive or)是对两个运算元的一种邏輯分析类型,符号为XOREOR。与一般的或閘OR不同,當兩兩數值相同為真..而有一數值不同時為否..

两个运算元(命题):A与B的异或一般写成A异或B,或者写成A \quad \mathrm{XOR} \quad BA \oplus BA \neq B等等。在C语言中,写作A^B。

真值表[编辑]

异或运算A \oplus B真值表如下:

A B
F F F
F T T
T F T
T T F

可以注意到无论怎样改变第一行中AB\oplus的位置,真值表都是成立的。

其它表示[编辑]

在数学和工程学中,常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以被其他逻辑算符表示为:

\begin{matrix}
A \oplus B & = & (A \land \lnot B) & \lor & (\lnot A \land B) = A\overline{B} + \overline{A}B \\
\\
      & = & (A \lor B) & \land & (\lnot A \lor \lnot B) = (A+B)(\overline{A}+\overline{B}) \\
\\
      & = & (A \lor B) & \land & \lnot (A \land B) = (A+B)(\overline{AB})
\end{matrix}

另外,异或算符可以被推广,得到关于n个运算元的异或运算:n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为:

\begin{matrix}
A \oplus B & = & \lnot ((A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B))
\end{matrix}

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。\wedge \lor

性质[编辑]

交换律A \oplus B = B \oplus A

结合律A \oplus (B \oplus C)=(A \oplus B) \oplus C

恒等律X\oplus 0=X

归零律X\oplus X=0

自反A \oplus B \oplus B=A\oplus 0=A

与近世代数的联系[编辑]

尽管算子\wedge逻辑合取)与\lor逻辑析取)是逻辑系统中最为常见的算子,但结构上,系统(\{T, F\}, \wedge) and (\{T, F\}, \lor)只是幺半群。因此,这两个系统无法合成为一个更大的结构,比如半环

但是,带有逻辑异或的系统(\{T, F\}, \oplus)是一个交换群。因此,算子\wedge\oplus的结合在集合\{T, F\}上作用就产生了最基本的二元F_2。这个域可以得出所有运用(\land, \lor)可以得到的结果,并且由于附带了域的结构,可以进行代数上的进一步分析。

参考来源[编辑]

参见[编辑]