逻辑等价

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逻辑中,陈述pq逻辑等价的,如果它们有相同的逻辑内容。

pq语法等价的,如果每个都可以证明自另一个。pq语义等价的,如果它们在所有模型中有相同的真值。

逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述,断言关于目标语言中的陈述pq的某个事情。而pq的实质等价(常写为"pq")自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的,pq是语法等价的,当且仅当pq是一个定理,而pq是语义等价的,当且仅当pq重言式

逻辑等价有时表示为pqpq。但是,后者记号也用于实质等价。

逻辑等价公式[编辑]

等价关系 关系名称
p∧T≡p
p∨F≡P
Identity laws
恒等律
p∨TT
p∧FF
Domination laws
支配律
p∨p≡p
p∧p≡p
Idempotent laws
幂等律
﹁(﹁p)≡p Double negation laws
双非律
p∨q≡q∨p
p∧q≡q∧p
Commutative laws
交换律
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)
Assocative laws
结合律
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∧r)≡(p∧q)∨(p∧r)
Distributive laws
分配律
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q
﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q
De Morgan's laws
德摩根律
p∨(p∧q)≡p
p∧(p∨q)≡p
Absorption laws
吸收律
p∨﹁p≡T
p∧﹁p≡F
Negation laws
否定律

包括蕴涵的逻辑等价:

  1. p→q≡﹁p∨q
  2. p→q≡﹁q→﹁p
  3. p∨q≡﹁p→q
  4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
  5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
  6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
  7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
  8. (p→r)∧(q→r)≡(p∧q)→r
  9. (p→r)∨(q→r)≡(p∨q)→r



包含双蕴涵(逻辑双条件)的逻辑等价:

  1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
  2. p↔q≡﹁p↔﹁q
  3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
  4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

例子[编辑]

John高于Fred≡≡(等价于)≡≡Fred矮于John.

参见[编辑]