逻辑运算符

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形式逻辑中,逻辑运算符逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设有两个逻辑命题,分别是“正在下雨”和“我在屋里”,我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨,并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨,那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句复合命题

基本運算符[编辑]

基本的操作符有:“”(¬)、“”(∧)、“”(∨)、“条件”(→)以及“双条件”(↔)。“非”是一个一元操作符,它只操作一项(¬ P)。剩下的是二元操作符,操作两项来组成复杂语句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。

注意,符号“与”(∧)和交集(∩),“或”(∨)和并集(∪)的相似性。这不是巧合:交集的定义使用“与”,并集的定义是用“或”。

这些连接符的真值表:

P Q ¬P PQ PQ PQ PQ
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

为了减少需要的括号的数量,有以下的优先规则:¬高于∧,∧高于∨,∨高于→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。

二元邏輯聯結詞表[编辑]

下面是在輸入P和Q上的16個二元布爾函數

永假
符號 等價公式 真值表 文氏圖
\bot P \wedge ¬P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   0 
Venn0000.svg




永真
符號 等價公式 真值表 文氏圖
\top P \vee ¬P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   1 
Venn1111.svg




合取
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P \wedge Q
P & Q
P · Q
P AND Q
P \not\rightarrow¬Q
¬P \not\leftarrow Q
¬P \downarrow ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   1 
Venn0001.svg




與非
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P | Q
P NAND Q
P → ¬Q
¬PQ
¬P ∨ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   0 
Venn1110.svg




非蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P \not\rightarrow Q
P \not\supset Q
P & ¬Q
¬PQ
¬P \not\leftarrow ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   0 
Venn0100.svg




蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P \supset Q
P ↑ ¬Q
¬PQ
¬P ← ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   1 
Venn1011.svg




命題P
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   1 
Venn0101.svg




非P
符號 等價公式 真值表 文氏圖
¬P
~P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   0 
Venn1010.svg




反非蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P \not\leftarrow Q
P \not\subset Q
P ↓ ¬Q
¬P & Q
¬P \not\rightarrow ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   0 
Venn0010.svg




反蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P \leftarrow Q
P \subset Q
P ∨ ¬Q
¬PQ
¬P → ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   1 
Venn1101.svg




命題Q
符號 等價公式 真值表 文氏圖
Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   1 
Venn0011.svg




非Q
符號 等價公式 真值表 文氏圖
¬Q
~Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   0 
Venn1100.svg




異或
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P \not\leftrightarrow Q
P \not\equiv Q
P \oplus Q
P XOR Q
P ↔ ¬Q
¬PQ
¬P \not\leftrightarrow ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   0 
Venn0110.svg




雙條件
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
PQ
P XNOR Q
P IFF Q
P \not\leftrightarrow ¬Q
¬P \not\leftrightarrow Q
¬P ↔ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   1 
Venn1001.svg




析取
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P  Q
P OR Q
P \leftarrow ¬Q
¬PQ
¬P ↑ ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   1 
Venn0111.svg




或非
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P NOR Q
P \not\leftarrow ¬Q
¬P \not\rightarrow Q
¬P ∧ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   0 
Venn1000.svg




圖示[编辑]

真值表 哈斯圖
input A input B output f(A,B) X and ¬X A and B ¬A and B B A and ¬B A A xor B A or B ¬A and ¬B A xnor B ¬A ¬A or B ¬B A or ¬B ¬A or ¬B X or ¬XLogical connectives table.svg
X or ¬X ¬A or ¬B A or ¬B ¬A or B A or B ¬B ¬A A xor B A xnor B A B ¬A and ¬B A and ¬B ¬A and B A and B X and ¬XLogical connectives Hasse diagram.svg
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