运动学

维基百科，自由的百科全书

(重定向自運動學)
跳转到: 导航, 搜索

运动学是力学的分支。它专门描述物体的运动，就是物体在空间中位置随时间的变化，而不涉及力和质量等等那些造成运动的因素。明显不同的，动力学研究力和因为力地作用在物体上而产生的运动。

任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论它的尺寸大小，如果能够忽略它的旋转运动，如果它内部每一部份都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那末，可以简易的将此物体视为粒子，将此物体的质心的地点当作粒子的位置。如果不能忽略旋转运动，则必须将物体理想化成为刚体，来解析其运动。

目录

[编辑] 历史

William Heytesbury（1313 年–1372 年）在十四世纪已经开始研究速度与加速度这方面的问题。他发表了平均速度定理：在同时间内，如果等速度物体的速度是等加速度物体的最终速度的一半，则此二物体移动的距离相等。伽利略（1564 年–1642 年）最先有系统的研究等加速运动。伽利略变换给予了牛顿运动定律坚实的架构；只有在近光速的情况，才必须改用较经精准而难解的洛仑兹变换来计算。

勒奈·笛卡尔在1637年创建了直角坐标系，又称卡式坐标系。用这坐标系的两个正交坐标轴为测量尺，平面上任何一点的位置都可以用一对数值来表示。在十七世纪中期，Grégoire de Saint-Vincent 与 Bonaventura Cavalieri 各自发表了极坐标系的概念。曲线坐标系是被法国数学家 Gabriel Lamé 定名的； 意思是曲线坐标的坐标平面皆乃曲线平面。艾萨克·牛顿在他的作品微积分方法里（1736年发表）计算出极坐标系统与九种不同坐标系统之间的互相变换公式。

[编辑] 平移运动

主条目：平移运动

假若，可以忽略一个物体的旋转运动，可以简易的将此物体视为粒子，则此物体的运动可以用平移运动來計算。平移运动可分为两种：直线运动、曲线运动。

[编辑] 直线运动

在直线运动中，粒子沿着直线移动。如果将一个一维坐标系统的坐标轴放在这直线上，那末，就可以用坐标值来导出位置、速度、加速度等等。定义位置为根据坐标系统来测量粒子的地点所得到的数值。定义位移为粒子运动的最终位置与最初位置之间的差值。假设一个粒子 A 在进行直线运动；在时间是 t\,\! 时，粒子 A 的位置是 x\,\! ；在 \Delta t\,\! 时间间隔后，时间是 t+\Delta t\,\!，粒子 A 的位置是 x+\Delta x\,\! 。那末，位移是 \Delta x\,\! 。速度是位置随时间的变率。粒子 A 的速度为∶

平均速度 \overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\,\! ，
瞬时速度 v=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\,\! 。

类似的，加速度是速度随时间的变率。粒子 A 的加速度是：

平均加速度 \overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\,\! ，
瞬时加速度 a=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\,\! 。

[编辑] 等速直线运动

等速直线运动的加速度是 0；速度 v\,\! 是常数；位置则是

x_f=x_i+vt\,\! ；

在这里，x_i\,\! 是最初位置，x_f\,\! 是最终位置。

[编辑] 等加速直线运动

等加速直线运动的加速度 a\,\! 是常数。速度与位移则是

x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2\,\! ，
x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t\,\! ，
v_f = v_i + a t\,\! ，
v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)\,\! ；

在这里，x_i\,\! 是最初位置，x_f\,\! 是最终位置，v_i\,\! 是最初速度，v_f\,\! 是最终速度。

参见等加速直线运动实例

[编辑] 曲线运动

粒子随时间而移动的曲线运动
粒子随时间而移动的曲线运动

定义粒子在空间中沿着曲线的移动为曲线运动。曲线运动的位置、速度、加速度等等、皆须用多维矢量来表示。参考右图，假若粒子在时间 t\,\! 的地点是 \mathbf{P}(t)\,\! ，位置是 \mathbf{r}(t)\,\! ；在间隔 \Delta t\,\! 时间后，地点是 \mathbf{P}(t+\Delta t)\,\! ，位移是 \Delta \mathbf{r}\,\! 、位置是 \mathbf{r}(t+\Delta t)\,\! 。那末，粒子的速度是

\mathbf{v}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\qquad \,\! 。

在 \Delta t\to 0\,\! 极限得到的速度矢量，正切曲线于粒子的位置。定义速率为速度的大小。假若这曲线从 \mathbf{r}\,\! 到 \mathbf{r}+\Delta \mathbf{r}\,\! 的路径长度是 \Delta s\,\! 。那末，速率为

v=\begin{vmatrix}\mathbf{v}\end{vmatrix}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\qquad \,\! 。

假若粒子在间隔 \Delta t\,\! 时间的速度差值是 \Delta \mathbf{v}\,\!。那末，类似的，加速度是

\mathbf{a}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\qquad \,\! 。

求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系统是一项非常重要的步骤。运动的限制、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假若，我们限制一粒串珠只能绕圆环移动，那末，合适的坐标可能是以圆心为顶点，包含串珠与圆环另一点的角之角度。类似的，如果，作用在粒子的力是连心力，那末，合适的坐标系可能是极坐标系。

[编辑] 直角坐标系

主条目：直角坐标系

三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：X-轴、Y-轴、Z-轴。在直角坐标系内，位置、速度、加速度可被表示为

\mathbf{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}\,\! ，
\mathbf{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}\,\! ，
\mathbf{a}=a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z}\,\! ；

这里，x\,\! 、y\,\! 、z\,\! 分别是粒子位置的三个坐标。还有，

v_x=\frac{dx}{dt}\ , \qquad \qquad v_y=\frac{dy}{dt}\ ,\qquad \qquad v_z=\frac{dz}{dt}\,\! ，
a_x=\frac{dv_x}{dt}\ , \qquad\qquad a_y=\frac{dv_y}{dt}\ ,\qquad \qquad a_z=\frac{dv_z}{dt}\,\! 。

参见等加速曲线运动实例

[编辑] 极坐标系

主条目：极坐标系

在二维空间里，极坐标系用两个坐标 (半径坐标 r\,\! 、角坐标 \theta\,\! ) 来表示点的位置。半径坐标是点与原点的距离；角坐标是点与原点的连线对 X-轴的角度。．极坐标系的两个坐标轴，半径坐标轴 ( r\,\!-轴) 与角坐标轴 ( \theta\,\!-轴)，分别是将 X-轴与 Y-轴依照逆时针方向旋转角度 \theta\,\! 得来的。那末，位置、速度、加速度分别表示为

\mathbf{r}=r\hat{r}\,\! ，
\mathbf{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}\,\! ，
\mathbf{a}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}\,\! ；

这里，\hat{r}\,\! 是半径单位矢量，\hat{\theta}\,\! 是角单位矢量。

粒子的角位置就是它的角坐标 \theta\,\! 、角位移 \Delta \theta \,\! 则是粒子在运动时前后角位置的差值、角速度的大小 \omega\,\! 是角位置随时间的导数，\omega=\dot{\theta}\,\! 、角加速度的大小 \alpha\,\! 是角速度随时间的导数：

\alpha=\dot{\omega}=\ddot{\theta}\,\! 。

等加速直线运动的方程可以很容易的改变适用在等角加速度曲线运动：

\,\!\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2\,\! ，
\theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t\,\! ，
\,\!\omega_f = \omega_i + \alpha t\,\! ，
\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha (\theta_f - \theta_i)\,\! ；

在这里，\theta_i\,\! 是最初角位置；\theta_f\,\! 是最终角位置；\omega_i\,\! 是最初角速度；\omega_f\,\! 是最终角速度。

[编辑] 参见

  • 刚体运动学：研究刚体在空间的运动。
  • 動力學：研究質點或剛體在空間中的受力與運動的狀況。

[编辑] 外部連結

来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AD%A6”
个人工具