運動常數

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在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（constant of motion），又稱為守恆量。[1]它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。

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應用 [编辑]

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。經過解析運動常數，我們可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的，則此物體的軌跡 (Trajectory) 必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言，從潘索橢圓球 (Poinsot's ellipsoid) 可以觀察出，一個淨力矩等於零的剛體的旋轉，其角速度軌跡是一個圓球（角動量守恆）與一個橢圓球（能量守恆）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法 [编辑]

辨認運動常數的方法有好幾種：

  • 最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。我們假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，我們論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。
\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+[A,\ H]\,\! 。

另外一個很有用的理論，帕松定理闡明：假若 A\,\! 與 B\,\! 都是運動常數，則它們的帕松括號 [A,\ B]\,\! 也是運動常數。

一個物理系統，假若擁有 n\,\! 個自由度，n\,\! 個運動常數，其任何一對運動常數的帕松括號等於零，則稱此系統為完全可積分系統 (completely integrable system) 。稱這一集合的運動常數互相對合。

量子力學 [编辑]

假若，一個可觀測量 Q\,\! 與哈密頓量 H\,\! 是可交換的，而且不顯性地相依於時間，則此可觀測量是個運動常數。

導引 [编辑]

假設，一個可觀測量 Q= Q(x,p,t)\,\! 相依於位置 x\,\! ，動量 p\,\! ，與時間 t\,\! 。再假設一個波函數 \psi\,\! 遵守薛丁格方程式 i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi\,\! 。求 Q\,\! 期望值隨時間 t\,\! 的導數，

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle\,\! = \frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle\,\!
= \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | Q | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | Q | \frac{\partial \psi}{\partial t} \right\rangle\,\!
= \frac{-1}{i\hbar} \langle H \psi | Q | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | Q | H \psi \rangle\,\!
= \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi | HQ | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | QH | \psi \rangle\,\!
= \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi|\left[H,Q\right]|\psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle\,\!；

其中，[H,Q] = HQ - QH \,\! 是交換子。

假若，Q\,\! 與哈密頓量 H\,\! 是可交換的，而且不顯性地相依於時間，則

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle=0\,\!。

所以，Q\,\! 是運動常數。

參閱 [编辑]

參考文獻 [编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
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