運動常數

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經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為運動常數constant of motion),又稱為守恆量[1]它的作用有點類似運動的約束。可是,運動常數是數學的約束,自然地從運動方程式中顯現出來,而不是物理的約束;物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量動量角動量拉普拉斯-龍格-冷次向量

應用[编辑]

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數,可以明瞭許多物體運動的性質,而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的,則此物體的軌跡 (Trajectory) 必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下,甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來;因為它們是運動常數的等值曲面相交線。舉例而言,從潘索橢圓球 (Poinsot's ellipsoid) 可以觀察出,一個淨力矩等於零的剛體旋轉,其角速度軌跡是一個圓球(角動量守恆)與一個橢圓球(能量守恆)的相交。用別種方法,這答案或許很不容易導引出。因此,運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法[编辑]

辨認運動常數的方法有好幾種:

  • 最簡單,但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數(或許是從分析實驗數據而得到的結論)。經過數學證明,可以論定,在物體的運動過程中,此量的值是保守的。
\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+[A,\ H]

另外一個很有用的理論,帕松定理闡明:假若 AB 都是運動常數,則它們的帕松括號 [A,\ B] 也是運動常數。

一個物理系統,假若擁有 n自由度n 個運動常數,其任何一對運動常數的帕松括號等於零,則稱此系統為完全可積分系統 (completely integrable system) 。稱這一集合的運動常數互相對合

量子力學[编辑]

假若,一個可觀測量 Q哈密頓量 H可交換的,而且不顯性地含時間,則此可觀測量是個運動常數。

導引[编辑]

假設,一個可觀測量 Q= Q(x,p,t) 跟位置 x 、動量 p 、時間 t 有關。再假設一個波函數 \psi 遵守薛丁格方程式 i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi 。求 Q 期望值對於時間 t 的導數,

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle  = \frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle
 = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | Q | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | Q | \frac{\partial \psi}{\partial t} \right\rangle
 = \frac{-1}{i\hbar} \langle H \psi | Q | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | Q | H \psi \rangle
 = \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi | HQ | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | QH | \psi \rangle
= \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi|\left[H,Q\right]|\psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle

其中,[H,Q] = HQ - QH 交換子

假若,Q哈密頓量 H可交換的,而且不顯性地含時間,則

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle=0

所以,Q 是運動常數。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.