邻域系

定义

在拓扑学和相关的数学领域中，一个点 x 的邻域系或邻域滤子 $\mathcal{V}(x)$ 是这个点 x 的所有邻域的搜集。

邻域基

点$x$的邻域基或局部基$\mathcal{B}(x)$就是邻域滤子$\mathcal{V}(x)$的滤子基。即

$\mathcal{B}(x) \subset \mathcal{V}(x)$，使$\forall V \in \mathcal{V}(x)$，$\exists B \in \mathcal{B}(x) : B \subset V$。

（对任何邻域 $V$ 我们可以在$\mathcal{B}(x)$中找出 $B$ 它被包含在 $V$ 中）。

反过来说，从滤子基、局部基我们可以返回到相应的邻域滤子为 $\mathcal{V}(x) =\left\{ V \supset B~:~ B \in \mathcal{B}(x)\right\}$。.

例子

• 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

• 若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x 的邻域系是整个空间$\mathcal{V}(x) = \{ X \}$

• 在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 $\mathcal{B}(x) = \{ B_{1/n}(x) ; n \in \mathbb N^* \}$。这意味着所有度量空间都是第一可数的。

• 在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造，

$\mathcal{V}(x) = \mathcal{V}(0) + x$。

这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。

• 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。

• 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。

参见

• 邻域
• 基 (拓扑学)
• 局部凸拓扑向量空间
• 滤子 (数学)