部分分式积分法

部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。

例子

以下是一个简单的例子。计算$\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx$时，需要先将它拆分为部分分式：

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}$

通分得到：

$10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,$

整理，原式变为：

$10x^2+12x+20=(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+(4A-2C)\,$

因此，

$A+B=10\,$

$2A-2B+C=12\,$

$4A-2C=20\,$

解方程组，得到：

$A=7\,$

$B=3\,$

$C=4\,$

所以：

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}$

即：

$\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx = \int ({7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4})\,dx = \int{7 \over x-2}\,dx + \int {3x+4 \over x^2+2x+4}\,dx$

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利用换元积分法，将$x-2\,$与$x^2+2x+4\,$分别换元，便得到结果：

$\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx$

$= 7 \ln |x-2| + \int {{\frac{3}{2} (2x+2)+1} \over x^2+2x+4}\,dx$

$=7 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \int {2x+2 \over x^2+2x+4}\,dx + \int {1 \over (x+1)^2+3}\,dx$

$=7 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \ln |x^2+2x+4| + \frac{1}{\sqrt 3} \arctan ({x+1 \over {\sqrt 3}})$

外部链接

• 拆分为部分分式
• 在线积分器