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酉矩阵

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

若一n行n列的複数矩阵U满足

U^\dagger U = UU^\dagger = I_n\,

其中I_n\,为n阶单位矩阵U^\dagger \,U共轭转置,则U称为酉矩阵(又译作幺正矩阵么正矩阵。英文:Unitary Matrix, Unitary是歸一單位的意思)。即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置U^\dagger \,为其逆矩阵

U^{-1} = U^\dagger \,\;

若酉矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似,

\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle

酉矩阵U不改变两个复向量的内积:

\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle

U \,为n阶方阵,则下列条件等价:

  1. U \,是酉矩阵
  2. U^\dagger \,是酉矩阵
  3. U \,的列向量构成内积空间Cn上的一组标准正交基
  4. U \,的行向量构成内积空间Cn上的一组标准正交基

酉矩阵的特征值都是模为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,因此酉矩阵行列式的值为±1。

酉矩阵是正规矩阵,由谱定理知,酉矩阵U可被分解为

U = V\Sigma V^*\;

其中V是酉矩阵,\Sigma是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n,所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个

性质[编辑]

  • U可逆
  • U^{-1}=U^\dagger
  • |det(U)| = ±1
  • U^\dagger是酉矩阵
  • \|Ux\|_2=\|x\|_2

参见[编辑]

外部链接[编辑]