酉矩阵

若一n行n列的複数矩阵U满足

$U^\dagger U = UU^\dagger = I_n\,$

其中$I_n\,$为n阶单位矩阵，$U^\dagger \,$为U的共轭转置，为酉矩阵(英文: Unitary Matrix, Unitary 是歸一或單位的意思)。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置$U^\dagger \,$为其逆矩阵:

$U^{-1} = U^\dagger \,\;$。

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，

$\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle$

酉矩阵U不改变两个复向量的内积：

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

若$U \,$为n阶方阵，则下列条件等价：

1. $U \,$是酉矩阵
2. $U^\dagger \,$是酉矩阵
3. $U \,$的列向量构成内积空间Cⁿ上的一组正交基
4. $U \,$的行向量构成内积空间Cⁿ上的一组正交基

酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。

酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为

$U = V\Sigma V^*\;$

其中V是酉矩阵，$\Sigma$是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

性质

• $U$可逆
• $U^{-1}=U^\dagger$
• |det($U$)| = 1
• $U^\dagger$是酉矩阵
• $\|Ux\|_2=\|x\|_2$

参见

• 埃尔米特矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解

外部链接

• Unitary Matrix from Mathworld