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配分函数

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配分函数英语Partition function)是一个平衡態统计物理学中经常应用到的概念,經由計算配分函數可以将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来,而配分函數等價於自由能,與路徑積分數學上有巧妙的類似。

配分函数通常意指正則系綜中的配分函數,而其他的系綜,亦有其相對應的配分函數,如巨正則系綜對應巨配分函數

正则系综的(固定温度体系的)配分函数的定义是:

Z = \sum_{E} \Omega (E) e^{-\beta E} \,

其中\beta = \frac{1}{k_{B}T}\Omega(E)\,为能级E\,的简并度。求和对系统所有能级E\,进行; k_B玻尔兹曼常数; T为体系的绝对温度

不难看出配分函数实际是体系所有粒子在各个能级依最可几分布排布时候对体系状态的一个描述,由配分函数可以方便地求出体系的内能自由能等等热力学量,内能的表达式:

 \langle E\rangle = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z = k_{B}T^{2}\frac{\partial}{\partial T}\ln Z

自由能的表达式:

 F = -k_{B}T \ln Z \,

可以从以上线性组合得到:

 S = (\langle E \rangle -F)/T


如果体系的能量中包含类似 -y Y\, 的一项,其中广义力Y\, 是微观态的一个函数,y\,则是一个参数,那么广义力的平均值为:

\langle Y \rangle = -\frac{\partial}{\beta \partial y}\ln Z

作为一种特别情况,压强的表达式是:

 p = \frac{\partial}{\beta \partial V}\ln Z