配对公理

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公理化集合论和使用它的逻辑数学计算机科学分支中,配对公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

形式陈述[编辑]

在 Zermelo-Frankel 公理的形式语言中,这个公理读做:

\forall x, \forall y, \exist A, \forall z: z \in A \iff (z = x \or z = y)

换句话说:

给定任何集合 x 和任何集合 y有着一个集合 A 使得,给定任何集合 zzA 的成员,当且仅当 z 等于 x 或者 z 等于 y

解释[编辑]

这个公理实际说的是,给定两个集合 xy,我们可以找到一个集合 A ,它的成员完全是 xy。我们可以使用外延公理证实这个集合 A 是唯一的。我们可以叫这个集合 Axy,并指示为 {x,y}。所以这个公理的本质是:

任何两个集合都有一个对。

{x,x} 简写为 {x},叫做包含 x单元素集合。注意单元素集合是对的特殊情况。

配对公理还允许定义有序对。对于任何集合 ab有序对定义为如下:

 (a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}.\,

注意这个定义满足条件

(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d.

有序的n-元组可以递归的定义为如下:

 (a_1, \ldots, a_n) = ((a_1, \ldots, a_{n-1}), a_n).

配对公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价者出现在任何可供选择的集合论的公理化中。不过在 Zermelo-Fraenkel 集合论的标准公式化中,配对公理可以从幂集公理替代公理模式中得出,所以它有时被省略。

一般化[编辑]

空集公理一起,配对公理可以一般化为如下模式:

\forall x_1, \ldots, \forall x_n, \exist A, \forall y: y \in A \iff (y = x_1 \or \cdots \or y = x_n)

就是说:

给定任何有限数目的集合 x1xn,有一个集合 A,它的成员完全是 x1xn。通过外延公理这个集合 A 再次是唯一的,并指示为 {x1,...,xn}。

当然,我们不能严格的提及有限数目的一些集合,而没有这些正在谈论的集合所归属的(有限)集合在手中。所以,这不是一个单一的陈述而是一个模式,对每个自然数 n 有一个单独的陈述。

  • 情况 n = 1 是带有 x = x1y = x1 的配对公理。
  • 情况 n = 2 是带有 x = x1y = x2 的配对公理。
  • 情况 n > 2 可以多次使用配对公理和并集公理来证明。

例如,要证明情况 n = 3,使用配对公理三次,来生成对 {x1,x2},单元素集合 {x3},接着的对 {{x1,x2},{x3}}。并集公理接着生成想要的结果 {x1,x2,x3}。我们可以扩展这个模式为包括 n=0,如果我们解释这个情况为空集公理

所以,你可以使用它为公理模式来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理,并把它证明为定理模式。注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理,在其他情况下仍需要它。

其他替代者[编辑]

另一个公理在有空集公理在场的时候蕴涵配对公理:

\forall x, \forall y, \exist A, \forall z (z \in A \iff (z \in x \or z = y))

代 {} 入 x 并代 a 入 y,我们得到 A 为 {a}。接着代 {a} 入 x 并代 by,我们得到 A 为 {a,b}。你可以用这种方式建造任何有限集合。它可以用来生成所有继承有限集合而不使用并集公理

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.