里斯表示定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理Riesz representation theorem),它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯

希尔伯特空间表示定理[编辑]

这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系:如果底实数,两者是等距同构;如果域是复数,两者是等距反同构。如下所述,(反)同构是特别自然的。

H 是一个希尔伯特空间,令 H^* 表示它的对偶空间,由从 H 到域 \mathbb{R}\mathbb{C} 的所有连续线性泛函。如果 xH 中一个元素,则函数 \phi_x 定义为

\phi_x(y) = \left\langle y , x \right\rangle \quad \forall y \in H ,\,

H^* 的一个元素,这里 \langle\cdot,\cdot\rangle 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 H^* 中任何元素都能惟一地写成这种形式。

定理:映射

 \Phi:H \rightarrow H^*, \quad \Phi(x) =  \phi_x

是一个等距(反)同构,这就是说:

  • \Phi双射
  • x 的范数与 \Phi(x) 的范数相等:\Vert x \Vert = \Vert\Phi(x)\Vert
  • \Phi 可加:\Phi( x_1 + x_2 ) = \Phi( x_1 ) + \Phi( x_2 )
  • 如果底域是 \mathbb{R},则 \Phi(\lambda x) = \lambda \Phi(x) 对所有实数 \lambda
  • 如果底域是 \mathbb{C},则 \Phi(\lambda x) = \bar{\lambda} \Phi(x) 对所有复数 \lambda,这里 \bar{\lambda} 表示 \lambda复共轭

\Phi 的逆映射可以描述为: 给定 H^* 中一个元素 \phi,核 \phi正交补 H 的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素 z,令 x = \phi(z) \cdot z /{\left\Vert z \right\Vert}^2。则 Φ(x) = φ。

历史上,通常认为这个定理同时由里斯弗雷歇在1907年发现(见参考文献)。格雷(Gray)在评论从他认为是原型的里斯(1909)一文到里斯表示定理的发展时说:“给定运算 A[f],可以构造有界变差函数 \alpha(x),使得无论连续函数f(x) 是什么,都有 A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x).

量子力学的数学处理中,这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时,每个右括号 |\psi\rangle 有一个相应的左括号 \langle\psi|,对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间,比如核空间Nuclear space),里斯表示定理不成立,在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

Cc(X) 上线性泛函的表示定理[编辑]

下面的定理表示出 Cc(X) 上的正线性泛函,支集连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的 σ-代数

局部紧豪斯多夫空间 X 上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正规的当且仅当

  • μ(K) < ∞ 对所有紧集 K
  • 对每个波莱尔集 E
 \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \, 开 }.
  • 关系
 \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \, 闭 }.

成立只要 E 是开集和 E 是波莱尔集且 μ(E) < ∞。

定理:设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 Cc(X) 上任何正线性泛函 ψ,在 X 上存在惟一的波莱尔正则测度 μ 使得

 \psi(f) = \int_X f(x) \, d \mu(x) \quad

对所有 f ∈ Cc(X)。

进入测度论的一个途径是从拉东测度开始,定义为 C(X) 上一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取;这里显然假设 X 首先是一个拓扑空间,而不仅是一个集合。对局部紧空间,重新得到了一个积分理论。

C0(X) 的对偶空间的表示定理[编辑]

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理,给出了 C0(X) 的对偶空间的一个具体实现,X在无穷远趋于零连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似,但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度,μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则(上一节所定义的)。

定理:设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C0 上任何连续线性泛函 ψ,存在 X 上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得

 \psi(f) = \int_X f(x) \, d \mu(x) \quad

对所有 f∈ C0(X)。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差total variation),即

 \|\psi\| = |\mu|(X).

最后,ψ 是的当且仅当测度 μ 是非负的。

:Cc(X) 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C0(X) 上有界线性泛函,因为后一个空间是前者的闭包。但是 Cc(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献[编辑]

  • M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
  • F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
  • F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  • J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
  • P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
  • P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
  • D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.