重心坐标

数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

设 v₁, ..., v_n 是向量空间 V 中一个单形的顶点，如果 V 中某点 p 满足，

$(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\, p = \lambda_1 \, v_1 + \cdots +\lambda_n \, v_n ,$

那么我们称系数 (λ₁, ..., λ_n) 是 p 关于 v₁, ..., v_n 的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的 k，(k λ₁, ..., k λ_n) 也是 p 的重心坐标。但总可以取坐标满足 λ₁ + ...+ λ_n = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负，则 p 在 v₁, ..., v_n 的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含 p。我们设想如果有质量 λ₁, ..., λ_n 分别位于单形的顶点，那么质量中心就是 p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

三角形的重心坐标 [编辑]

在三角形情形中，重心坐标也叫面积坐标，因为 P 点关于三角形 ABC 的重心坐标和三角形 PBC, PCA 及 PAB 的（有向）面积成比例，证明如下（如右图所示）。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形 ABC 顶点为 $\textbf{a}\, ,\textbf{b}\,$ 和 $\textbf{c}\,$ ，P 点为 $\textbf{p}$ 等。设 PBC, PCA 及 PAB 面积之比为 $\lambda_1 :\lambda_2:\lambda_3\,$ 且 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ ，设射线 AP 与 BC 交于 D，则

$BD:DC=\lambda_3 :\lambda_2 ,$ 从而 $\textbf{d}= \frac{\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}}{\lambda_2+\lambda_3},$

$AP:PD=(\lambda_2+\lambda_3) :\lambda_1$ ，故

$\textbf{p}=\frac{(\lambda_2+\lambda_3) \textbf{d} +\lambda_1 \textbf{a}}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\,,$

$\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}\, .$

所以， $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ 就是 P 的重心坐标。

坐标变换 [编辑]

给定三角形平面一点 P，我们将这一点的面积坐标 $\lambda_{1}\,$ ， $\lambda_{2}\,$ 和 $\lambda_{3}\,$ 用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

$S(ABC)=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}$

我们可得：

$\lambda_1=S(PBC)/S(ABC)=\begin{vmatrix}1 &x_p&y_p\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}/ \begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}$

类似地有 $\lambda_2 , \lambda_3$ ，注意 ABC 构成一个三角形，上式的分母不可能为 0。

反过来则简单得多：

$\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c} ,$ 故

$x_p=\lambda_1 x_a+\lambda_2 x_b +\lambda_3 x_c ,$ 和

$y_p=\lambda_1 y_a+\lambda_2 y_b +\lambda_3 y_c .$

判断一点的位置 [编辑]

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间 $(0,1)$ ；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标 $\lambda_{1...3}$ 为 0，其余分量位于闭区间 $[0,1]$ 。如果有某个坐标小于 0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。（图示中，B和C顶端的坐标正副反了，B的应该是(-,-,+)，C的是(-,+,-)

应用 [编辑]

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点 $\textbf{v}_{1}\,$ , $\textbf{v}_{2}\,$ 和 $\textbf{v}_{3}\,$ 定义的三角形 T，任何在三角形内部的点 $\textbf{p}$ 都能写成顶点的加权和：

$\textbf{p} = \lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} + \lambda_{3} \textbf{v}_{3},$

这里 $\lambda_{1}\,$ 、 $\lambda_{2}\,$ 和 $\lambda_{3}\,$ 是面积坐标。注意到 $\lambda_{3} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}\,$ 。从而，函数 $f$ 在 T 上的积分为：

$\int_{T} f(\textbf{p}) \ ds = 2S \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{2}} f(\lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) \textbf{v}_{3}) \ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} \,$