重疊-儲存之摺積法

重疊-儲存之摺積法 ( Overlap-save method, Overlap-discard method ) 是一種區塊摺積 ( block convolution, sectioned convolution )，可以有效的計算一個很長的信號 x[n] 和一個 FIR 濾波器 h[n] 的離散摺積。

$\begin{align} y[n] = x[n] \star h[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot x[n-m] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x[n-m] \end{align}$

其中 h[m] 在 [1, M] 之外為零。

與重疊-相加之摺積法不同之處在於，重疊-儲存之摺積法所算出的輸出區塊並不重疊 (因此計算上少了將輸出區塊相加所需的加法)，而是每次用的輸入區塊有所重疊。因此實作時每次讀取輸入後需將和下一個輸入重疊的部分儲存起來，作為下一輸入區塊的開頭部份，因此稱為重疊-儲存之摺積法。另外重疊-儲存之摺積法也不需補零。

算法

概念上，這個做法是選用一個較短的適當長度 L 來切割 y[n] ，則因為 h[n] 是有限長度，因此在某一區塊內的 y[n] 也只被有限長的 x[n] 區塊（會比 y[n] 分割成的區塊長一點）所決定。因此只要選擇有影響的輸入區塊和 h[n] 摺積，再選擇結果中適當的部分即可得到正確的輸出區塊。

$x_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} x[n+kL-M] & 1 \le n \le L+M-1\\ 0 & \textrm{otherwise}. \end{cases}$

$y_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ x_k[n] \star h[n]\,$

則對於在 $[kL+1, (k+1)L]$ 內的 n ， 輸出 y[n] 可寫成

$\begin{align} y[n] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x[n-m] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x_k[n+M-kL-m] &= x_k[n+M-kL] \star h[n] \\ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ y_k[n+M-kL]. \end{align}$

所以只需計算 n 在 $[kL+1, (k+1)L]$ 中的 y_k[n + M - kL] ，亦即 n 在 $[M+1, L+M]$ 的 y_k[n] 部份即可。因此每一段輸出區塊 y_k[n] 的前 M-1 點可丟棄（discard）。

儘管一時看不出切割成區塊的好處為何，但將 x_k[n] 做  $N\ge L+M-1\,$  的週期延伸，

$x_{k,N}[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k[n - kN],$

則  $(x_{k,N}) \star h\,$  和  $x_k \star h\,$  這兩個摺積在 $[M+1, L+M]$ 的部份相等。所以可以將線性摺積改以 $N\,$ 點圓周摺積計算，結果的 $[M+1, L+M]$ 部分作為輸出 y[n] 在 $[kL+1, (k+1)L]$ 的部份。由於每段 x_k[n] 原本就有  $L+M-1\,$  長，所以選擇  $N=L+M-1\,$  的話輸入 x[n] 就不需補零。 改以圓周摺積計算後即可藉圓周摺積定理

$y_k[n] = \textrm{IFFT}\left(\textrm{FFT}\left(x_k[n]\right)\cdot\textrm{FFT}\left(h[n]\right)\right)$

轉換成三次 $N\,$ 點快速傅立葉變換和 $N\,$ 次乘法，使原本每段 O(N²) 的運算量減少至 O(N logN)，速度大幅增加。

準程式碼

   (Overlap-save algorithm for linear convolution)
   H = FFT(h,N)
   i = 1
   while i <= Nx
       il = min(i+N-1,Nx)
       yt = IFFT( FFT(x(i:il),N) * H, N)
       y(i : i+N-L-1) = yt(1+L : N)
       i = i+L
   end

區塊長度的選擇

當 x[n] 的長度 N' 和 h[n] 的長度 M 相差太大時（例如 M < log₂N' ），直接摺積（不透過圓周摺積和 FFT ）反而最快。而當 N' 和 M 差不多在同一個數量級時，不用分割，也就是只有一塊長度 L = N' 的區塊去做 FFT 即可。而當 N' 比 M 大了不少，卻沒大太多時，區塊長度 L 就需要選擇。除了與 N' 和 M 相關以外，也要考慮當兩者相除有餘數時，剩下一小段的輸入可能會造成浪費。

相關條目

• 離散摺積
• 圓周摺積
• 快速傅立葉變換
• 重疊-相加之摺積法

參考文獻

• Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 65–67. ISBN 0-13-914101-4. 
• Helms, H., Fast Fourier transform method of computing difference equations and simulating filters, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 1967, 15(2): 85-90 

外部連結

• DSP class Fall 2005 Lecture08 at The University of Texas at Arlington]