重疊-相加之摺積法

重疊-相加之摺積法 ( Overlap-add method ) 是一種區塊摺積 ( block convolution, sectioned convolution )，可以有效的計算一個很長的信號 x[n] 和一個 FIR 濾波器 h[n] 的離散摺積。

$\begin{align} y[n] = x[n] \star h[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot x[n-m] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x[n-m] \end{align}$

其中 h[m] 在 [1, M] 之外為零。

重疊-相加之摺積法算出重疊的輸出區塊；另一種區塊摺積的作法，重疊-儲存之摺積法則是將輸入區塊重疊。

算法

概念上，這個做法是選用一個較短的適當長度 L 來切割 x[n] ，計算 x[n] 的子數列濾波後的結果 y_k[n] ，然後連接起來成為 y[n] 。並考慮到一個長度 $L$ 和長度 $M$ 的有限長度離散信號，做摺積之後會成為長度 $L+M-1$ 的信號。

$x_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} x[n+kL] & n=1,2,\ldots,L\\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases}$

則

$x[n] = \sum_{k} x_k[n-kL]\,$

而因為摺積是線性非時變運算，所以 y[n] 可被表示為

$\begin{align} y[n] = \left(\sum_{k} x_k[n-kL]\right) \star h[n] &= \sum_{k} \left(x_k[n-kL]\star h[n]\right)\\ &= \sum_{k} y_k[n-kL] \end{align}$

其中  $y_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ x_k[n] \star h[n]\,$  在 [1, L+M-1] 之外為零。 每個 y_k[n] 長度 $L+M-1$ ，以間隔 $L$ 位移後相加，所以輸出是由互相重疊的區塊相加而成，因此稱為重疊-相加之摺積法。

儘管一時看不出切割成區塊的好處為何，但考慮到對任何  $N\ge L+M-1\,$  以上每段的摺積都等價於 $x_k[n]\,$ 和 $h[n]\,$ 做 $N\,$ 點圓周摺積 ，不夠的部分補上零 (zero-padding)。如此一來因為圓周摺積可以藉由圓周摺積定理

$y_k[n] = \textrm{IFFT}\left(\textrm{FFT}\left(x_k[n]\right)\cdot\textrm{FFT}\left(h[n]\right)\right)$

轉換成三次 $N\,$ 點快速傅立葉變換和 $N\,$ 次乘法，使原本每段 O(N²) 的運算量減少至 O(N logN)，速度大幅增加。

準程式碼

   Algorithm (OA for linear convolution)
   Evaluate the best value of N and L
   H = FFT(h,N)       (zero-padded FFT)
   i = 1
   while i <= Nx
       il = min(i+L-1,Nx)
       yt = IFFT( FFT(x(i:il),N) * H, N)
       k  = min(i+N-1,Nx)
       y(i:k) = y(i:k) + yt    (add the overlapped output blocks)
       i = i+L
   end

區塊長度的選擇

當 x[n] 的長度 N' 和 h[n] 的長度 M 相差太大時（例如 M < log₂N' ），直接摺積（不透過圓周摺積和 FFT ）反而最快。而當 N' 和 M 差不多在同一個數量級時，不用分割，也就是只有一塊長度 L = N' 的區塊去做 FFT 即可。而當 N' 比 M 大了不少，卻沒大太多時，區塊長度 L 就需要選擇。除了與 N' 和 M 相關以外，也要考慮當兩者相除有餘數時，剩下一小段的輸入可能會造成浪費。

相關條目

• 離散摺積
• 圓周摺積
• 快速傅立葉變換
• 重疊-儲存之摺積法

參考文獻

• Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 65–67. ISBN 0-13-914101-4. 
• Helms, H., Fast Fourier transform method of computing difference equations and simulating filters, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 1967, 15(2): 85-90 

外部連結

• Matlab 使用 Matlab 函數 fftfilt.m 實作重疊-相加之摺積法
• DSP class Fall 2005 Lecture08 at The University of Texas at Arlington