重言1形式

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数学中,重言 1-形式Tautological one-form)是流形 Q余切丛 T^{*}Q 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 T^{*}Q辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式典范 1-形式,或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场

典范坐标中,重言 1-形式由下式给出:

\theta = \sum_i p_i dq^i\ .

在差一个全微分(恰当形式)的意义下,相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系,可以称之为典范坐标;不同典范坐标之间的变换称为典范变换

典范辛形式

\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i\ ,

给出。

无坐标定义[编辑]

重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设 Q 是一个流形,M=T^*Q 是其余切空间或者说相空间。设

\pi:M\to Q\ ,

是典范纤维丛投影,令

T_\pi:TM \to TQ\ ,

\pi 诱导的前推。设 mM 上一点,然而因为 M 是余切丛,我们可将 m 理解为切空间上一个函数,在 q=\pi(m) 点为:

m:T_qQ \to \mathbb{R}\ .

这样,我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式 \theta_m 在点 m 定义为

\theta_m = m \circ T_\pi\ .

这是一个线性函数

\theta_m:T_mM \to \mathbb{R}\ ,

所以

\theta:TM \to \mathbb{R}\ ,

是流形 M=T^*Q 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

性质[编辑]

重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说:若

\beta:Q\to T^*Q

Q 上任意一个 1-形式,而 \beta^* 是其拉回。那么

\beta^*\theta = \beta\ ,

以及

\beta^*\omega = -d\beta\ .

这些都可以用上一节的定义直接得到,如果写成局部坐标的形式就最好理解:

\beta^*\theta = \beta^*\sum_i p_idq^i = 
\sum_i \beta^*p_idq^i = \sum_i \beta_idq^i = \beta \ .

作用量[编辑]

如果 H余切丛上一个哈密顿向量场,而 X_H 是其哈密顿流,那么相应的作用量 S

S=\theta (X_H)\ .

用普通的方式表述,哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线,所以我们用作用量-角度坐标传统记法:

S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i\ ,

这里积分理解为在流形上的维持能量 E 为常数 H=E=\text{const} 的子集上进行。

在度量空间上[编辑]

如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g,那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地,如果我们取度量为映射

g:TQ\to T^*Q\ ,

这样便定义了

\Theta = g^*\theta

\Omega = -d\Theta = g^*\omega

TQ 上的广义坐标中 (q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n) ,我们有

\Theta=\sum_{ij} g_{ij} \dot q^i dq^j

以及

\Omega= \sum_{ij} g_{ij} \; dq^i \wedge d\dot q^j +
\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \; 
\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k\ .

度量使我们可定义 T^*Q 上的一个单位半径球面(丛)。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构;这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流

又见[编辑]

参考文献[编辑]