量子位元

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量子資訊科學中,量子位元(又稱為Q位元[1]量子比特),是量子信息的計量單位。一般電腦使用0和1,量子電腦也是使用0跟1,但與之不同的是,其0與1可同時計算。古典系统中,一个位元在同一时间,不是0,就是1,但量子位元是0和1的量子疊加。这是量子電腦计算的特性。

定義[编辑]

具有量子特性的系統(通常為雙態系統,如自旋1/2粒子),選定兩個相互正交本徵態,分別以|0 \rangle(採狄拉克標記右括向量表示)和|1 \rangle代表。當對此系統做投影式量子測量時,會得到的結果必為這兩個本徵態之一,以特定機率比例出現。此外,這兩個本徵態可以複數係數做線性疊加得到諸多新的量子態

|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C}

而從量子力學得知,這些線性疊加態|\psi \rangle \,的兩個複數係數,必須要求各自絕對值平方相加之和為1,也就是:

|\alpha |^2 + |\beta |^2 = 1 \,

因為

1 = \langle \psi |\psi \rangle = (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)^{\dagger} (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle) = (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1| ) (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)
 = \alpha^* \alpha \langle 0|0 \rangle + \alpha^* \beta \langle 0|1 \rangle + \beta^* \alpha \langle 1|0 \rangle + \beta^* \beta \langle 1|1 \rangle
 = |\alpha |^2 + |\beta |^2 \,,即要求總機率要是1。

兩個本徵態|0 \rangle|1 \rangle及無限多種線性疊加態|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle,集合起來就代表了一個量子位元;各態皆屬純態


和(古典)位元「非0即1」有所不同,量子位元可以「又0又1」的狀態存在,所謂「又0又1」即上述無限多種(\alpha , \beta) \,組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理等現象,並使量子計算應用在某些課題上顯著地優於古典計算,甚至可進行古典計算無法做到的工作。

量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化,此表示法稱之為布洛赫球面

按方向所採的諸多表示法[编辑]

若設定|0 \rangle|1 \rangle順沿直角坐標系的z方向,則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量,亦可將之表為行矩陣;另外有密度矩陣形式,可表為右括向量乘以左括向量,或表為方陣,可見如下:

z方向[编辑]

向量:z_+ = |0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad z_- = |1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
密度矩陣:z_+ = |0 \rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,
 z_- = |1 \rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

x方向[编辑]

向量:x_+ = |x_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad x_- = |x_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:x_+ = |x_+ \rangle\langle x_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,
x_- = |x_- \rangle\langle x_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

y方向[编辑]

向量:y_+ = |y_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad y_- = |y_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:y_+ = |y_+ \rangle\langle y_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,
y_- = |y_- \rangle\langle y_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

量子三元[编辑]

量子三元(qutrit)是量子位元的推廣,有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記右括向量表示可寫為|0 \rangle|1 \rangle|2 \rangle。一個自旋為1的粒子,其自旋自由度有三,所對應的本徵值為+1, 0, -1,此粒子即可用作量子三元。

参考文献[编辑]

  1. ^ MA Nielsen, IL Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (2000).