量子位元

量子位元是量子資訊科學的核心之一。

量子比特双态量子系统，如偏振一个单一的光子会产生两种状态，这两种状态是垂直极化和水平极化。经典系统中，一个比特在同一时间，要么是0，要么是1，但量子比特可以同时处于2个状态，即量子叠加。这是量子计算的根本属性。

定義

具有量子特性的系統(通常為二階量子系統，如自旋$\frac{1}{2}$粒子)，選定兩個正交的本徵態，分別以$|0 \rangle$(採狄拉克標記右括向量表示)和$|1 \rangle$代表。當我們對此系統做投影式量子測量時，會得到的結果必為這兩個本徵態之一，以特定機率比例出現。此外，這兩個本徵態可以複數係數做線性疊加得到諸多新的量子態

$|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C}$，

而從量子力學得知，這些線性疊加態$|\psi \rangle \,$的兩個複數係數，必須要求各自絕對值平方相加之和為1，也就是：

$|\alpha |^2 + |\beta |^2 = 1 \,$

因為

$1 = \langle \psi |\psi \rangle = (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)^{\dagger} (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle) = (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1| ) (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)$

$= \alpha^* \alpha \langle 0|0 \rangle + \alpha^* \beta \langle 0|1 \rangle + \beta^* \alpha \langle 1|0 \rangle + \beta^* \beta \langle 1|1 \rangle$

$= |\alpha |^2 + |\beta |^2 \,$，即要求總機率要是1。

兩個本徵態$|0 \rangle$、$|1 \rangle$及無限多種線性疊加態$|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle$，集合起來就代表了一個量子位元；各態皆屬純態。

和(古典)位元「非0即1」有所不同，量子位元可以「又0又1」的狀態存在，所謂「又0又1」即上述無限多種$(\alpha , \beta) \,$組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理等現象，並使量子計算應用在某些課題上顯著地優於古典計算，甚至可進行古典計算無法做到的工作。

量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化，此表示法稱之為布洛赫球面。

按方向所採的諸多表示法

若設定$|0 \rangle$、$|1 \rangle$順沿笛卡兒座標的z方向，則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量，亦可將之表為行矩陣；另外有密度矩陣形式，可表為右括向量乘以左括向量，或表為方陣，可見如下：

z方向

向量：$z_+ = |0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad z_- = |1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
密度矩陣：$z_+ = |0 \rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,$
$z_- = |1 \rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

x方向

向量：$x_+ = |x_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad x_- = |x_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}$
密度矩陣：$x_+ = |x_+ \rangle\langle x_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$
$x_- = |x_- \rangle\langle x_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

y方向

向量：$y_+ = |y_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad y_- = |y_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}$
密度矩陣：$y_+ = |y_+ \rangle\langle y_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$
$y_- = |y_- \rangle\langle y_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

推廣(量子三元、量子四元)

量子三元(qutrit)及量子四元(qudit)是量子位元的推廣，有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記右括向量表示可寫為$|0 \rangle$、$|1 \rangle$、$|2 \rangle$。一個自旋1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值+1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。