量子力学

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量子物理
\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
量子力學

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氢原子的电子云的概率密度：从上向下为主量子数n（1、2、3），从左向右为方位角量子数l（s、p、d）
氢原子的电子云的概率密度：从上向下为主量子数n（1、2、3），从左向右为方位角量子数l（s、p、d）

量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。

19世纪末，经典力学和经典电动力学在描述微观系统时的不足越来越明显。量子力学是在20世纪初由普朗克、尼尔斯·玻尔、沃纳·海森堡、薛定谔、沃尔夫冈·泡利、德布罗意、马克斯·玻恩、恩里科·费米、保罗·狄拉克等一大批物理学家共同创立的。通过量子力学的发展人们对物质的结构以及其相互作用的见解被革命化地改变。通过量子力学许多现象才得以真正地被解释，新的、无法直觉想象出来的现象被预言，但是这些现象可以通过量子力学被精确地计算出来，而且后来也获得了非常精确的实验证明。除通过广义相对论描写的引力外，至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子力学的框架内描写（量子场论）。

目录

[编辑] 关键现象

[编辑] 光与物质的相互作用

[编辑] 黑体辐射

19世纪末许多物理学家对黑体辐射非常感兴趣。黑体是一个理想化了的物体，它可以吸收所有照射到它上面的辐射并将这些辐射转化为热辐射，这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关。使用经典物理这个关系无法被解释。通过将物体中的原子看作微小的振荡器马克斯·普朗克得以获得了一个黑体辐射的公式。但是在引导这个公式时他不得不假设这些原子振荡器的能量不是连续的（这是经典物理学的观点），而是离散的：

E_n=n\cdot h\cdot \nu

这里n是一个整数，h是一个自然常数。（后来证明正确的公式应该以n + 1 / 2来代替n，参见零點能量）。1900年普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。其值为h=6.626176\cdot 10^{-34} Js。

[编辑] 光电效应

1905年阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验发现通过光照可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率超过一个临限值后才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子（光子这个名称后来才出现）的理论来解释这个现象。光的量子的能量为

E=h\nu\;

在光电效应中这个能量被用来将金属中的电子射出（逸出功）和加速电子（动能）：

h\nu=E_{\mbox{work function}}+\frac{1}{2}mv^2

这里m是电子的质量，v是其速度。假如光的频率太小的话，那么它无法使得电子越过逸出功，不论光强有多大。

[编辑] 原子结构

20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子像行星围绕太阳运转一样围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。

首先按照经典电磁学这个模型不稳定。按照电磁学电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱由一系列离散的发射线组成，比如氢的发射光谱由一个紫外线系列（赖曼系）、一个可见光系列（巴耳末系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。

1913年尼尔斯·玻尔提出了以他命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量En的轨道上运转。假如一个电子从一个能量比较高的轨道（En）跃到一个能量比较低的轨道（Em）上时它发射的光的频率为

h\nu=E_n-E_m\;。

通过吸收同样频率的光子可以从低能的轨道跃到高能的轨道上。

玻尔模型可以解释氢原子，改善的玻尔模型还可以解释只有一个电子的离子，即He+, Li2+, Be3+等。但对其它原子它的计算错误。

[编辑] 物质衍射

外村彰的衍射试验结果
外村彰的衍射试验结果

1919年克林顿·戴维森等人首次成功地使用电子进行了衍射试验，路易-维克多·德·布罗伊由此提出粒子拥有波性，其波长与其动量相关

\lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}。

简单起见这里不详细描写戴维森等人的试验，而是描写使用双缝进行的电子衍射试验。通过这个试验可以非常生动地体现出多种不同的量子力学现象。

右图显示了这个试验的结果：

  • 打在屏幕上的电子是点状的，这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。
  • 电子打在屏幕上的位置有一定的分布概率，随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。

在图中的试验里电子源的强度非常低（约每秒10颗电子），因此电子之间的衍射可以被排除。显然电子同时通过了两个缝，与自己衍射导致了这个结果。对于经典物理学来说这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看电子的分布概率和衍射结果均可以通过|\psi\rangle = 1/\sqrt{2} \, (|1\rangle + |2\rangle) 这两个通过两个栅的、叠加在一起的状态简易地演算出来。这个试验非常明显地显示出了波粒二象性。

这个试验証实了薛定谔开发他的量子力学时所作的假设，即每个粒子也同时可以被一个波函数来描写，而这个波函数是多个不同状态的叠加。

[编辑] 数学理论

1932年约翰·冯·诺伊曼将量子力学的最重要的基础严谨地公式化。按照诺伊曼的一个物理系统有三个主要部分：其状态、其可观察量和其动力学（即其发展趋势），此外物理对称性也是一个非常重要的特性。

[编辑] 假设

非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下假设：

  1. 一个物理系统于时间点t的状态可以由希尔伯特空间\mathcal{H}中的一个归一化矢量 |\psi(t)\rangle 来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性矢量空间。
  2. 每个可观测物理量A可以通过状态空间中的一个厄密算符A来表示，可观测量A在状态\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}的期望值（即测量结果的平均值）为 \langle\psi\mid A\mid\psi\rangle。经一步的，对应于可观测量的厄密算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上，对应的可观测量具有唯一确定的测量值，即该本征态对应的本征值。对于任意的态，观测量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的，测量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。
  3. 位置算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动量算符的表达式，而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。由算符的对易式可导出不确定性原理：两个可观察量'A和B之间的不确定性至少大于其运算符A和B之间的对易子之半
  4. 状态矢量|\psi(t)\rangle的动力学演化由薛定谔公式表示： i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle，在这里哈密顿算符H(t)通常对应于系统的总能量。

为了描写无法获得最多信息的量子状态物理学家创造了密度矩陣。密度矩陣包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多信息。

近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述，即广义量子测量（POVM）。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射（completely positive maps）可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算。这个新的描写方法扩展了上面所叙述的传统的诺伊曼方法，而且还可以描写上述方法无法描写的现象，比如持续性的不确定性的测量等等。

[编辑] 状态

在经典力学中一个拥有f自由度的物理系统及其随时间的发展可以通过f对规范共轭的变量qi,pi完全决定。在量子力学中两个相互共轭的可观察量从原则上就无法无限精确地被测量，因此如何相应有意义地定义一个量子物理学的系统是一个非常基本的问题。在量子力学中一个物理系统仅通过同时可以被测量的可观察量来定义是它与经典力学最主要的区别。只有通过彻底地使用这样的状态定义才能够理论性地描写许多量子物理现象。

在量子力学中一个物理状态|\psi\rangle由最多\{O_1,O_2,\ldots,O_f\}个同时可以被测量的可观察量定义。在测量时一个可观察量可以拥有一定的值。可能获得的测量值n被称为可观察量的特征矢量，根据系统的不同它可以是离散的，也可以是连续的。属于这些特征矢量的状态被称为该可观察量的特征状态。由于上面的定义中的可观察量是可以同时被测量的，因此它们互相之间不影响。通过使用适当的过滤一个已知的量子物理系统可以被预备到一个一定的状态。以上同时可以被测量的可观察量的特征矢量为

|\psi\rangle = \left|n^{(O_1)},\ldots,n^{(O_f)}\right\rangle.

这样的状态常被称为“纯量子状态”。它是通过它的特征矢量和最佳地被定义的。

值得注意的是不像经典系统那样，这样的量子状态中并非所有可测量的特性均被确定。对于与上述可同时测量的可观察量不相符的物理量的特征矢量只能给出获得一定测量值的概率，但是每个测量值肯定是其可观察量的特征矢量。这个原则性的不确定性是从上面所提到的不确定性原理来的。它是量子力学最重要的结论，同时也是许多人反对量子力学的原因。

对于一个现有的量子物理学系统来说一个可观察量的特征矢量所构成的特征状态组成一个线性的状态空间\mathcal H，从数学的角度来看这个空间是一个希尔伯特空间。这个状态空间表示了所有这个系统所可能拥有的状态。因此即使是非常简单的量子力学系统，比如一个由和谐振荡器组成的系统，的状态空间就已经有无限多个维了。非常重要的是多个状态的线性覆盖本身也是该状态空间的一部分，即使这个线性覆盖本身不是可观察量的特征矢量。

|\psi\rangle = \sum_i \omega_i |n_i\rangle,\quad \omega_i\in\mathbb{C}

这个现象被称为多个状态的叠加。比较直觉的这就好像一个平面内的两个矢量的和依然是该平面内的一个矢量。

最简单的一个这样叠加的二态系统的例子是一个量子位元。

[编辑] 动力学演化

量子状态的动力学有不同的模型（也被称为“图景”）来表示。通过重新定义运算符和状态这些不同的模型可以互相转换，它们实际上是等價的。

薛定谔图景对一个系统的动力学是这样描述的：一个状态由一个可导的、以时间t为参量的、希尔伯特状态空间上的函数定义。假如\left|\psi\left(t\right)\right\rangle是对一个时间点t的状态描述的话，那么以下的薛定谔公式成立：

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=H\left|\psi(t)\right\rangle

这里H是一个紧凑地定义的、自伴运算符，它也被称为哈密尔顿运算符。i是虚单位，\hbar是普朗克常数。H相当于整个系统的总能量的可观察量。

在海森堡图景状态本身不随时间变化，但是可观察量的运算符随时间变化。随时间变化的海森堡运算符由以下微分方程定义：

\mathrm{i}\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}A(t) = [A(t),H]

通过数学演化可以证明假如可观察量A在薛定谔绘景中不随时间变化的话通过薛定谔图和海森堡绘景获得的A的期望值是相同的。

在相互作用图景中状态和运算符均可随时间变化，但是状态和运算符的哈密尔顿运算符不同。尤其在状态随时间的变化有精确的解的情况下这个绘景非常有用，在这个情况下所有的数学计算全部规限于运算符的时间变化上了。因此对于状态的哈密尔顿运算符被称为“自由哈密尔顿运算符”，对可观察量的哈密尔顿运算符被称为“相互作用哈密尔顿运算符”。动力学的发展可以由以下两个公式来描写：

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=\operatorname{H_0}\left|\psi(t)\right\rangle
i\hbar{\partial\over\partial t}A(t) = [A(t),H_{\rm int}]

海森堡绘景最类似于经典力学的模型，从教育学的观点来看薛定谔绘景最容易理解。互相作用绘景常被用在摄动理论中（尤其是在量子场论中）。

有些波函数形成不随时间变化的概率分布。许多在经典力学中随时间动态变化的过程在量子力学中形成这样的“定态波函数”。比如原子中的一颗电子在其最低状态下在经典力学中由一个围绕原子核的圆形轨道来描写，而在量子力学中则由一个静态的、围绕原子核的球状波函数来描写。

薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程，只有在少数情况下这些方程才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了。但是实际上有许多不同的技术来求得近似解。一个例子是摄动理论，它使用已知的简单的模型系统的解来计算更复杂的模型。尤其在复杂模型中的相互作用可以被看作是对简单模型的“小”干扰时这个技术特别有效。另一个技术是所谓的半经典近似，它尤其适用于量子效应比较小的系统中。

另一个计算量子力学系统的方法是理查德·費曼的费曼图积分的方法。在这个技术中一个量子力学系统的状态值等于这个系统从一个状态过渡到另一个状态的所有可能的路径的可能性的和。

[编辑] 一个具体例子

在这里以一个自由粒子为例。一个自由粒子的量子状态可以被一个任意在空间分布的波来表示。位置和动量是该粒子的可观察量。位置的特征状态之一是一个在一个特定的位置x拥有一个巨大的值，在所有其它位置的值为0的波函数。在这个情况下进行一次位置测量的话可以确定100%的可能性下该粒子位于x。与此同时其动量的特征状态是一个平面波。事实上该平面波的波长为h / p，在这里h是普朗克常数，而p是该特征状态的动量。

一般来说一个系统不会处于其任何一个可观察量的特征状态上，但是假如我们测量一个可观察量的话，其波函数就会立刻处于该可观察量的特征状态上。这个过程被称为波函数倒塌。假如我们知道测量前的波函数是怎样的话，我们可以计算出它倒塌到不同特征状态的可能性。比如一般来说上述自由粒子的波函数是一个波包，这个波函数分布于一个平均位置x0周围，它既不是位置也不是动量的特征状态。但假如我们测量这个粒子的位置的话，我们无法精确地预言测量结果。我们只能给出测量结果的可能性。可能我们测量到的位置在x0附近，因为这里的可能性最高。测量后该粒子的波函数倒塌到了一个位于测量结果x的位置特征状态。

使用薛定谔方程来计算上述自由粒子获得的结果可以看出该波包的中心以恒定的速度在空间运动，就像在经典力学中一个不受力的粒子一样。但是随着时间的发展这个波包会越来越弥散，这说明其位置测量会越来越不精确，这也说明随着时间的发展本来非常明确的位置特征状态会不断弥散，而这个弥散的波包就已经不再是位置的特征状态了。

[编辑] 物理意义

[编辑] 基础

[编辑] 测量过程

量子力学与经典力学的一个主要区别在于测量过程在理论中的地位。在经典力学中一个物理系统的位置和动量值可以无限精确地被确定和被预言。至少在理论上测量对这个系统本身并没有任何影响，并可以无限精确地进行。在量子力学中测量过程本身对系统造成影响。

对测量过程的描写与决定论息息相关。一个量子力学系统虽然彻底地决定性，但是其测量过程确完全地偶然性。要描写一个可观察量的测量，需要将一个系统的状态线性分解为该可观察量的特征状态。测量过程可以看作是在这些特征状态上的一个投影，测量结果相当于相应于该特征状态的特征矢量。假如对无限多个这个系统的拷贝进行无限多次测量的话我们可以获得所有可能的测量值的概率分布，每个值的几率等于相应的特征状态的系数的平方。

由此可见对于两个不同的物理量A和B的测量顺序可能直接影响其测量结果，事实上不可交换的可观察量就是这样的，即\mathbf{AB}\neq\mathbf{BA}。

[编辑] 不确定性原理

主条目：不确定性原理

最著名的不可交换的可观察量是一个粒子的位置x和动量p。它们的不确定性Δx和Δp的积无法小于一个特定的值：

\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.

这个公式被称为不确定性原理，它是由海森堡首次提出的。其原因是位置和动量的测量顺序直接影响到其测量值，也就是说其测量顺序的交换直接会影响其测量值。[1]

海森堡由此得出结论认为不确定性是由于测量过程的限制导致的，至于粒子的特性是否真的不确定还未知。玻尔则将不确定性看作是物理系统的一个原理。今天的物理学见解基本上接受了玻尔的解释，不过在今天的理论中不确定性不是单一粒子的属性，而是一集相同的、不相互作用的粒子的属性。不确定性是整个集的不确定性。也就是说对于整个集来说其总的位置的不确定性Δx和总的动量的不确定性Δp不能小于一个特定的值：

\Delta x \cdot \Delta p > \frac{\hbar}{2}

[编辑] 概率

通过将一个状态分解为可观察量的特征状态|n_i\rangle可以通过每个系数的平方 | ωi | 2获得测量到该特征矢量ni的可能性，这也是该系统处于特征状态|n_i\rangle的可能性。ωi因此被称为测量值ni的“概率密度”。这个密度可以通过将|\psi\rangle投影到各特征状态|n_i\rangle上计算出来：

\omega_i = \langle n_i|\psi\rangle

因此对于同一系统的同一可观察量进行测量一般获得的结果是不同的，除非该系统已经处于该可观察量的特征状态上了。通过反复对同一状态的系统进行测量可以获得测量值ni的统计分布。所有试验都面临着这个测量值与量子力学的数学计算的问题。

[编辑] 同样粒子的不可区分性和泡利原理

由于从原则上无法彻底确定一个量子物理系统的状态，因此在量子力学中内在特性（比如质量、电荷等）完全相同的粒子之间的区分失去了其意义。在经典力学中每个粒子的位置和动量全部是完全可知的，它们的轨迹可以被预言。通过一个测量可以确定每一个粒子。在量子力学中每个粒子的未来位置和动量无法被预言，因此给每个粒子“挂上一个号”的做法失去了其意义。比如在对一个由多个电子组成的系统进行两次测量时无法说出测量到的电子是同一电子还是两个不同的电子。

这个相同粒子的不可区分性对状态的对称性以及多粒子系统的统计力学有深远的影响。比如可以证明一个由相同粒子组成的多粒子系统的状态在交换两个粒子“1”和粒子“2”时不是对称的(|\psi _{12} \rang = + |\psi _{21} \rang)就是反对称的(|\psi _{12} \rang = - |\psi _{21} \rang)。对称状态的粒子被称为玻色子，反对称状态的粒子被称为费米子。此外自旋的对换也形成对称：自旋为半数的粒子（如电子、质子和中子）是反对称的，因此是费米子；自旋为整数的粒子（如光子）是对称的，因此是玻色子。

这个深奥的粒子的自旋、对称和统计学之间关系只有通过相对论量子场论才能导出，但它也影响到了非相对论量子力学中的现象。费米子的反对称性的一个结果是泡利不相容原理，即两个费米子无法占据同一状态。这个原理拥有极大的实用意义。它表示在我们的由原子组成的物质世界里电子无法同时占据同一状态，因此在最低状态被占据后下一个电子必须占据亚最低的状态，直到所有的状态均被满足为止。这个现象决定了物质的物理和化学特性。

费米子与玻色子的状态的热分布也相差很大：玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子则遵循费米-狄拉克统计。

[编辑] 量子纠缠

主条目：量子纠缠

往往一个由多个粒子组成的系统的状态无法被分离为其组成的单个粒子的状态，在这种情况下单个粒子的状态被称为是纠缠的。纠缠的粒子有惊人的特性，这些特性违背一般的直觉。比如对一个粒子的测量可以导致整个系统的波包立刻倒塌，因此也影响到另一个、遥远的、与被测量的粒子纠缠的粒子。这个现象并不违背狭义相对论，因为在量子力學的層面上，在測量粒子前，你不能定義它們，實際上它們仍是一個整體。不過在測量它們之後，它們就會脫離量子糾纏這狀態。

[编辑] 量子脫散

主条目：量子脫散

作为一个基本理论量子力学原则上应该适用于任何大小的物理系统，也就是说不仅限于微观系统，那么它应该提供一个过渡到宏观“经典”物理的方法。量子现象的存在提出了一个问题，即怎样从量子力学的观点上来解释宏观系统的经典现象。尤其无法直接看出的是量子力学中的叠加状态如何应用到宏观世界上来。1954年爱因斯坦在给马克斯·波恩的信中就提出了怎样从量子力学的角度来解释宏观物体的定位的问题，他指出仅仅量子力学现象太“小”无法解释这个问题。

这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔的猫的思想实验。

直到1970年左右人们才开始真正领会到上述的思想实验实际上并不实际，因为它们忽略了不可避免的与周围环境的相互作用。事实证明叠加状态非常容易受周围环境的影响。比如在双栅试验中电子或光子与空气分子的碰撞或者发射辐射就可以影响到对形成衍射非常关键的各个状态|\phi_n^{System}\rangle之间的相的关系。在量子力学中这个现象被称为量子脱散。它是由系统状态与周围环境影响的相互作用导致的。这个相互作用可以表达为每个系统状态|\phi_n^{System}\rangle与环境状态|\phi_m^{environment}\rangle的纠缠。其结果是只有在考虑整个系统时（即实验系统+环境系统）叠加才有效，而假如孤立地只考虑实验系统的系统状态|\phi_n^{System}\rangle的话，那么就只剩下这个系统的“经典”分布了[2]。

量子脱散时间（秒）[2]
自由电子 10微米的尘埃 保龄球
300K，标准气压 10-12 10-18 10-26
300K，高真空 10 10-4 10-12
阳光（地球表面） 109 10-10 10-18
热辐射（300K） 107 10-12 10-20
宇宙微波辐射（2.73K） 109 10-7 10-18

右表列出了不同物体和环境里量子脱散的速度。显然即使在非常弱的环境影响下一个宏观物体也已经在极短的时间里脱散了。

在上面的这个叙述中有一个内在的假设，即脱散后的系统自然地是我们所熟悉的经典系统。但是这个架设并不是那么理所当然。比如脱散后的宏观系统一般是我们所熟悉的位置状态明确的状态，而微观系统则往往脱散为位置状态不明确的状态（比如能量特征状态），这是为什么呢？这个问题的答案也来自周围环境对系统的影响。事实上只有不被脱散过程直接摧毁的状态才提供一个坚固的、脱散后的可观察量[2][3]。

量子脱散是今天量子力学解释宏观量子系统的经典性质的主要方式[3]。

对于量子计算机来说量子脱散也有实际意义。在一台量子计算机中需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。脱散时间短是一个非常大的技术问题。

[编辑] 应用

在许多现代技术装备中量子物理学的效应起了重要的作用。从激光、电子显微镜、原子钟到核磁共振的医学图像显示装置关键是依靠了量子力学的原理和效应。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明，最后为现代的电子工业铺平了道路。在核武器的发明过程中量子力学的概念也起了一个关键的作用。

在上述这些发明创造中量子力学的概念和数学描述往往很少直接起了一个作用，而是固体物理学、化学、材料科学或者核物理学的概念和规则起了主要作用，但是在所有这些学科中量子力学均是其基础，这些学科的基本理论全部是建立在量子力学之上的。

以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用，而且这些列出的例子肯定也非常不完全，实际上在现代的技术中量子力学无处不在。

[编辑] 原子物理和化学

任何物质的化学特性均是由其原子和分子的电子结构所决定的。通过解包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中人们认识到要计算这样的方程实在太复杂，而且在许多情况下只要使用简化的模型和规则就足以确定物质的化学特性了。在建立这样的简化的模型中量子力学起了一个非常重要的作用。

一个在化学中非常常用的模型是原子轨道。在这个模型中分子中电子的多粒子状态通过将每个原子的电子单粒子状态加到一起形成。这个模型包含着许多不同的近似（比如忽略电子之间的排斥力、电子运动与原子核运动脱离等等），但是它可以近似地、准确地描写原子的能量极。除比较简单的计算过程外这个模型还可以直觉地给出电子排布以及轨道的图像描述。

通过原子轨道人们可以使用非常简单的原则（洪德定则）来区分电子排布。化学稳定性的规则（八隅律、幻数）也很容易从这个量子力学模型中推导出来。

通过将数个原子轨道加在一起可以将这个模型扩展为分子轨道。由于分子一般不是球对称的，因此这个计算要比原子轨道要复杂得多。理论化学中的分支量子化学和计算机化学是专门使用近似的薛定谔方程计算复杂的分子的结构及其化学特性的学科。

[编辑] 核物理

[编辑] 固体物理学

主條目：固體物理學

为什么金刚石硬、脆和透明，而同样由碳组成的石墨却软而不透明？为什么金属导热、导电，有金属光泽？发光二极管、二极管和三极管的工作原理是什么？铁为什么有铁磁性？超导的原理是什么？

以上这些例子可以使人想象出固体物理有多么多样性。事实上凝聚态物理学是物理学中最大的分支，而所有凝聚态物理学中的现象从微观角度上都只有通过量子力学才能正确地被解释。使用经典物理顶多只能从表面上和现象上提出一部分的解释。

以下列出了一些量子效应特別强的现象：

[编辑] 量子信息学

目前研究的焦点在于一个可靠的、处理量子状态的方法。由于量子状态可以叠加的特性理论上量子计算机可以高度平行运算，它可以应用在密码学中。理论上量子密码术可以产生完全可靠的密码，但是实际上目前这个技术还非常不可靠。另一个当前的研究项目是将量子状态传送到远处的量子隐形传送。

[编辑] 与其它物理理论的关系

[编辑] 与经典物理的界限

1923年尼尔斯·玻尔提出了对应原理，认为量子数（尤其是粒子数）高到一定的极限后的量子系统可以很精确地被经典理论描述。这个原理的背景是事实上许多宏观系统可以非常精确地被经典理论如经典力学和电磁学来描写。因此一般认为在非常“大”的系统中量子力学的特性会逐渐退化到经典物理的特性，两者并不相抵触。

因此对应原理是建立一个有效的量子力学模型的重要辅助工具。量子力学的数学基础是非常广泛的，它仅要求状态空间是一希尔伯特空间，其可观察量是线性的运算符。但是它并没有规定在实际情况下哪一种希尔伯特空间、哪些运算符应该被选择。因此在实际情况下必须选择相应的希尔伯特空间和运算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言在越来越大的系统中逐渐近似经典理论的预言。这个大系统的极限被称为“经典极限”或者“对应极限”。因此可以使用启发法的手段来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限就是相应的经典物理学的模型。

[编辑] 与相对论的结合

量子力学在其发展初期没有顾及到狭义相对论。比如在使用谐波振荡器模型的时候特别使用了一个非相对论的振荡器。

早期的将量子力学与狭义相对论联系到一起的试图包括使用相应的克莱因-高登方程或者狄拉克方程来取代薛定谔方程。这些方程虽然在描写许多现象时已经很成功，但它们还有缺陷，尤其是它们无法描写相对论状态下粒子的产生和消灭。通过量子场论的发展产生了真正的相对论量子理论。量子场论不但将可观察量如能量或者动量量子化了，而且将媒介相互作用的场量子化了。第一个完整的量子场论是量子电动力学，它可以完整地描写电磁相互作用。

一般在描写电磁系统时不需要完整的量子场论。一个比较简单的模型是将带电荷的粒子当作一个处于经典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的一开始就已经被使用了。比如氢原子的电子状态可以近似地使用经典的1 / r电压场来计算。但是在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下（比如带电粒子发射一颗光子）这个近似方法就失效了。

[编辑] 强相互作用和弱相互作用

强相互作用的量子场论是量子色动力学，这个理论描述原子核所组成的例子（夸克和胶子）之间的相互作用。弱相互作用与电磁相互作用结合在电弱相互作用中。

[编辑] 万有引力

至今为止仅仅万有引力无法使用量子力学来描述。因此在黑洞附近，或者将整个宇宙作为整体来看的话量子力学可能遇到了其适用边界。目前使用量子力学或者使用广义相对论均无法解释假如一个粒子到达黑洞的奇点时会怎样反应。广义相对论预言该粒子会被压缩到密度无限大，而量子力学则预言由于粒子的位置无法被确定，因此它无法达到密度无限大而可以逃离黑洞。因此20世纪最重要的两个新的物理理论量子力学和广义相对论互相矛盾。

寻求解决这个矛盾的答案是目前理论物理学的一个重要目标（量子引力）。但是至今为止找到引力的量子理论的问题显然非常困难。虽然一些亚经典的近似理论有所成就，比如对霍金辐射的预言，但是至今为止无法找到一个整体的量子引力的理论。目前这个方面的研究包括弦理論等。

[编辑] 解释和哲学观点

由于其实验验证量子力学可以算作是被验证得最严密的物理理论之一了。至今为止所有的实验数据均无法推翻量子力学。大多数物理学家认为它“几乎”在所有情况下正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此量子力学中依然存在着概念上的弱点和缺陷，除上述的万有引力的量子理论的缺乏外至今为止对量子力学的解释存在着争议。

[编辑] 解释

假如我们接受量子力学的数学模型是它的适用范围内的完整的物理现象的描写的话，那么我们发现测量过程中每次测量结果的几率性的意义与经典统计理论中的几率意义不同。即使完全相同的系统的测量值也会是随机的。这与经典的统计力学中的几率结果不一样。在经典的统计力学中测量结果的不同是由于实验者无法完全复制一个系统造成的，而不是因为测量仪器无法精确地进行测量。在量子力学的标准解释中测量的随机性是基本性的，是由量子力学的理论基础获得的。由于量子力学尽管无法预言单一实验的结果依然是一个完整的自然的描写使得人们不得不得出以下结论：世界上不存在通过单一测量可以获得的客观的系统特性。一个量子力学状态的客观特性只有在描写其整组实验所体现出的统计分布中才能获得。

爱因斯坦（“量子力学不完整”，“上帝不掷股子”）与尼尔斯·玻尔是最早对这个问题进行争论的。玻尔维护不确定原理和互補原理。在多年的、激烈的讨论中爱因斯坦不得不接受不确定原理，而玻尔则削弱了他的互补原理，这最后导致了今天的哥本哈根诠释。

今天大多数物理学家接受了量子力学描述所有一个系统可知的特性以及测量过程无法改善，不是因为我们的技术问题所导致的的见解。这个解释的一个结果是测量过程打扰薛定谔方程，使得一个系统倒塌到它的特征状态。除哥本哈根诠释外还有人提出过一些其它解释方式。其中比较有影响的有：

  • 戴维·玻姆提出了一个不局部的，带有隐变量的理论（隐变量理论）。在这个解释中波函数被理解为粒子的一个引波。从结果上这个理论预言的实验结果与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样，因此使用实验手段无法鉴别这两个解释。虽然这个理论的预言是决定性的，但是由于不确定原理无法推测出隐变量的精确状态。其结果是与哥本哈根诠释一样使用这个解释实验的结果也是一个概率性的结果。至今为止还不能确定这个解释是否能够扩展到相对论量子力学上去。布罗伊和其他人也提出过类似的隐藏系数解释。
  • 休·埃弗莱特提出的多世界诠释认为，所有量子理论所做出的可能性的预言全部同时实现，这些现实成为互相之间一般无关的平行宇宙。在这个诠释中总的波函数不倒塌，它的发展是决定性的。但是由于我们作为观察者无法同时在所有的平行宇宙中存在，因此我们只观察到在我们的宇宙中的测量值，而在其它宇宙中的平行我们则观察到他们的宇宙中的测量值。这个诠释不需要对测量的特殊的对待。薛定谔方程在这个理论中所描写的也是所有平行宇宙的总和。
  • 另一个解释方向是将经典逻辑改成一个量子逻辑来排除解释的困难。

以下列举了对量子力学的解释最重要得实验和思想实验：

  • 愛因斯坦-波多斯基-羅森悖論以及相关的贝尔不等式明显地显示了量子力学理论无法使用“局部”隐变量来解释，但是不排除非局部隐藏系数的可能性。
  • 双缝试验是一个非常重要的量子力学试验，从这个试验中也可以看到量子力学的测量问题和解释的困难性，这是最简单而明显地显示波粒二象性的试验了。
  • 薛定谔的猫

[编辑] 哲学问题

量子力学的许多解释涉及到一般的哲学问题，这些问题又涉及到本体论、认识论和科学哲学的基本概念和理论。以下为一些这些问题：

[编辑] 重要主题

物理学分支
基础理论
经典力学 | 连续介质力学 | 热力学 | 统计力学 | 电动力学 | 相对论 | 量子力学
研究领域
力学 | 声学 | 热学 | 电磁学 | 光学
凝聚态物理学 | 固体物理学 | 等离子体物理学 | 分子物理学 | 原子物理学 | 原子核物理学 | 粒子物理学
交叉和应用学科
天体物理学 | 生物物理学 | 物理化学 | 材料科学 | 电子科学 | 非线性物理学 | 计算物理学


[编辑] 注释

  1. ^ http://plato.stanford.edu/entries/qt-measurement/ Measurement in Quantum Theory.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 E. Joos et al.: Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer 2003, ISBN 3-540-00390-8
  3. ^ 3.0 3.1 Schlosshauer, Maximilian: "Decoherence, the Measurement Problem, and Interpretations of Quantum Mechanics", Reviews of Modern Physics 76(2004), 1267–1305 [1]

[编辑] 外部链接

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