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量子力學的數學表述

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量子力学的数学表述是一个允许对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪起始阶段之前发展起来的该理论的数学形式不同,它使用了一些抽象的数学结构,如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的算子。这些结构中有许多源于泛函分析(一个纯粹数学的研究领域,其发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要)。简言之,物理可观察量的值,如能量动量的值,从此不再被认为作相空间上的函数值,而作线性算子特征值

这种量子力学的数学表述形式被沿用至今。该描述方法的中心在于“量子态”和“量子可观察量”的概念。对于原子尺度的系统来说,这两个概念与之前用来描述物理现实的模型大相径庭。虽然数学上允许对许多量的计算结果进行实验测量,但是实际上却存在一个理论性限制表明无法对一些值同时进行绝对精确的测量。这个限制首次由海森堡通过一假想实验阐明,且被以量子可观察量的不可交换性在该新形式里数学化表出。

在量子力学作为一支独立理论形成之前,物理学中用到的数学理论主要是微分几何偏微分方程统计力学中主要用到概率论。显然地,几何直观在前两个理论中扮演重要角色,相应地,相对论的建立完全基于几何概念。量子物理学的表象(初期客观经验的先验性累积)雏成於1895年到1915年间。此后在量子理论形成(1925年前后)之前的10至15年中,物理学家仍然在今天被称作经典物理学的框架内思考量子理论,尤其是运用着同一套数学结构。其中最完善的例子是索默菲-威尔逊-石原量子化规则,它完全是在经典框架中的相空间上建立起来的。

數學形式的歷史[编辑]

古典量子理論及對新數學的需求[编辑]

在19世纪最后的十年间,马克斯·普朗克成功导出了黑体辐射光谱,其之后被用于解决经典框架下的紫外灾变:普朗克做了一个超出经典框架的假设,即在辐射物质的相互作用中,交换的能量只能以离散的单位——量子——计。普朗克假定辐射频率与该频率下的能量量子之间成正比例关系,比例常数"h"现以他的名义被称为普朗克常数

主要数学工具包括:

亦见: .

参考文献[编辑]

  • S. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
  • D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, 42 (1979),pp.1-­70.
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  • J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
  • R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (Reprinted by Princeton University Press)
  • M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols 1-IV, Academic Press 1972.
  • H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950.