量子測量

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量子力學

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

入門、數學表述        背景 古典力學、舊量子論、干涉 哈密頓量、狄拉克符號 基本概念 量子態、波函數、態向量 態疊加原理、波粒二象性 埃倫費斯特定理、量子纏結 包立不相容原理、量子脫散 量子穿隧效應、量子測量 實驗 薛丁格的貓、雙縫實驗 戴維森-革末實驗 施特恩-格拉赫實驗 貝爾定理的實驗驗證 波普爾實驗、量子擦除器 構想 薛丁格繪景、海森堡繪景 交互作用繪景、矩陣力學 求和的歷史 方程式 薛丁格方程式、包立方程式 克萊因-戈登方程式 狄拉克方程式 詮釋 哥本哈根詮釋、系綜詮釋 隱變數、交易詮釋 多世界詮釋、一致性歷史 德布罗意-玻姆理论 量子邏輯 進階理論 量子場論、量子重力 萬有理論 科學家 普朗克、玻尔、埃倫費斯特 海森堡、薛丁格、德布羅意 玻恩、愛因斯坦、艾弗雷特 索末菲、馮·诺伊曼、費曼 狄拉克、維恩、玻姆、其他

在量子力學之中，所謂的「測量」需要有較嚴謹的定義，而特別稱之為量子測量。除了實驗物理上的考量之外，其涉及的層面也包括了哲學觀點。

量子測量的數學形式

与经典物理中的测量不同，量子测量不是独立于所观测的物理系统而单独存在的，相反，测量本身即是物理系统的一部分，所作的测量会对系统的状态产生干扰。

一般形式：量子公设III

量子公设的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合 $\{ M_m \}$ 来表示，它作用在系统的希尔伯特空间上。测量算符 M 的序列号 m 表示测量所得出的不同结果。

系统在测量前处于状态$|\psi \rang$。

测量后得到结果 m 的概率是：

$p( m ) = \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$

测量后系统的状态变为：

$\frac{ M_m| \psi \rang } \sqrt{\lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang}$

测量算符必须满足以下的完整性条件：

$\sum_m M^\dagger_mM_m = 1$

$1 = \sum_m p_m = \sum_m \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$

例如：一个量子比特

$\{ M_m \} = \{ M_0, M_1 \}$

$M_0 = |0 \rang \lang 0|; M^\dagger_0M_0 = M_0$

$M_1 = |1 \rang \lang 1|; M^\dagger_1M_1 = M_1$

$I = |0 \rang \lang 0| + |1 \rang \lang 1| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$| \psi \rang = a |0 \rang + b |1 \rang$

$p( 0 ) = \lang \psi | M^\dagger_0M_0 | \psi \rang = \lang \psi | M_0 | \psi \rang = \lang \psi | 0 \rang \lang 0 | \psi \rang = |a|^2$

$p( 1 ) = |b|^2$

$\frac{ M_0| \psi \rang }{|a|} = \frac{a}{|a|} | 0 \rang$

$\frac{ M_1| \psi \rang }{|b|} = \frac{b}{|b|} | 0 \rang$

一般来讲测量不是幺正算符，而是从系统里获取信息的一个过程。

可測量的量值(「物理量」)作為算符

量子力學中，可觀測量在數學上常以厄米算符(Hermitian)或自伴算符來表示。此算符的本徵值集合代表測量可能結果的集合。對於每個本徵值而言，存在有一個對應的本徵態（或本徵向量），其為系統在測量之後的狀態。這種表徵具有一些特質：

1. 厄米矩陣的本徵值是實數。一個測量的可能結果恰好是給定的可觀測量的本徵值。
2. 一個厄米矩陣可以么正式地對角化（參見譜定理(Spectral theorem)），產生了本徵向量的一組 正交歸一基，可以架構出系統的態空間。一般來說，系統的狀態可以寫為任何厄米算符的線性組合。如此在物理上的意義即為任何狀態可以表示為一可觀測量其本徵態的疊加。

重要的例子有：

• 哈密頓算符，代表系統的總能量；非相對論性的特例為：${\hat H} = {\hat p^2 \over 2m} + V( \hat x )$.
• 動量算符：${\hat p} = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$（以位置基底表示。）
• 位置算符：${\hat x} = {-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}$（以動量基底表示。）

算符可以是非對易性（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的歸一化的本徵向量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為「不相容」(incompatible)而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過海森堡不確定原理來描述。

參見

• 測量相關問題與悖論
  • 波函數縮併
  • EPR悖論
  • 薛丁格的貓
• 量子力學詮釋
  • 哥本哈根詮釋
  • 多重世界詮釋
• 量子力學形式
  • 量子力學
  • 薛丁格方程式
  • 狄拉克標記

外部連結

• 史丹福大學哲學資料庫——量子理論中的測量