量子耗散

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量子耗散的研究目标是在量子力学的基础上推导出经典耗散定律。量子耗散与量子退相干有紧密联系。它在量子力学的层面上研究了能量的不可逆损耗。 量子力学建立在哈密顿量的基础上,系统总能量守恒,原则上讲,这样的系统不可能描述能量耗散过程。为了克服这个局限性,将系统分作两部分,一部分是能量发生耗散的系统,一部分叫做“浴”,即该系统所处的环境,系统耗散掉的能量将会流入浴中。系统与浴的耦合取决于描述浴的微观细节。为了不可逆的能量流动,浴含有无数个自由度。 1963年,费曼与Vernon的文章里给出了关于浴的最简单的模型,浴被看作是由无数个谐振子组成的集合。量子力学中,谐振子可用于描述自由玻色子

Caldeira-Leggett 模型[编辑]

1981年,Amir Caldeira 和 Anthony J. Leggett 提出了一个简单模型,从量子角度深入解释了耗散过程。[1]该模型描述了一维的系统与浴的耦合。其哈密顿量为

H=\frac{P^2}{2 M} + V(X) + \sum_i\left(\frac{p_i^2}{2 m_i}+\frac{1}{2}m_i \omega_i^2 q_i^2\right) + X \sum_i{C_i q_i} + X^2 \sum_i \frac{C_i^2}{2m_i \omega_i^2},

前两项是系统的哈密顿量,第三项是浴的哈密顿量,代表了无数个谐振子之和。第四项描述了系统与浴的相互作用,在Caldeira-Leggett模型中,耦合与系统位置有关,而第五项则用于保证耗散最终在空间中是各向同性的。因为浴与系统的耦合依赖于系统坐标,如果不包含第五项,模型不能满足平移不变性,这将导致系统与浴的相互作用与系统所处位置有关。

为了更方便的对浴建模,通常使用浴的谱密度函数

 J(\omega) =  \frac{\pi}{2} \sum_i \frac{C_i^2}{m_i \omega_i} \delta(\omega - \omega_i)

当趋近于经典极限时,即  \hbar \rightarrow 0 时,通过路径积分计算,对所有浴的自由度积分可获得系统在浴的平均作用下的有效动力学,可得到如下运动方程

 M \frac{d^2}{dt^2} X(t) = - \frac{\partial V(X)}{\partial X} - \int_0^{T} d t' \alpha (t - t') (X(t) - X(t'))

其中,

 \alpha (t - t') = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\infty} J(\omega) e^{-\omega|t-t'|} d \omega

描述了耗散过程存在下影响粒子运动的有效力。对于马可夫浴,即浴与系统相互作用只与当前状态有关,以及欧姆耗散,上述方程简化为经典粒子在摩擦力作用下的运动方程

 M \frac{d^2}{dt^2} X(t) = - \frac{\partial V(X)}{\partial X} - \eta \frac{d X(t)}{d t}

因此,人们可以通过 Caldeira-Leggett 模型从量子角度解释经典耗散过程。

参考文献[编辑]

  1. ^ A. Caldeira and A. J. Leggett, Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems, Phys. Rev. Lett., vol. 46, p. 211, 1981