量子諧振子

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量子力學裏,量子諧振子英语quantum harmonic oscillator)是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者,因為一任意在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動

一維諧振子[编辑]

哈密頓算符與能量本徵態[编辑]

能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵 (n = 0 到 7)。橫軸表示位置 x 。此圖未經歸一化

在一維諧振子問題中,一個質量為 m 的粒子,受到一位勢 V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 。此粒子的哈密頓算符

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

其中 x位置算符,而 p動量算符 \left(p = -i \hbar {d \over dx} \right) 。第一項代表粒子動能,而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定态薛丁格方程式」:

 H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle .

在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數方法。可以見到有一族的解:

 \left\langle x | \psi_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)
 n = 0, 1, 2, \ldots

最先六個解(n = 0 到 5)展示在右圖。函數 H_n埃爾米特多項式

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作 H 。相應的能階為

 E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)
束縛本徵態之機率密度 n(x)|² ,從最底部的基態 (n = 0) 開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置 x ,而較亮的色彩代表較高的機率密度。

值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即 \hbar\omega 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當 n = 0 )不為零,而是 \hbar\omega/2 ,被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations) 且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的,不像波耳模型盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理

階梯算符方法[编辑]

前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在量子場論中。跟從此方法,定義算符 a 與其伴隨算符 (adjoint) a

\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}

算符 a 並非厄米算符 (Hermitian) ,以其與伴隨算符 a 並不相同。

算符 aa 有如下性質:

\begin{matrix}
a \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n}  \left| \phi _{n-1} \right\rangle \\
a^{\dagger} \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n+1}  \left| \phi _{n+1} \right\rangle
\end{matrix}

在推導 a 形式的過程中,已用到算符 xp (代表可觀測量)為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:

\begin{matrix}
x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\
p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right)
\end{matrix}

xp 算符遵守下面的等式,稱之為正則對易關係

 \left[x , p \right] = i\hbar .

方程式中的方括號是常用的標記機器,稱為交換子交換算符對易算符,其定義為

\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   AB - BA.

利用上面關係,可以證明如下等式:

 H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)
\left[a , a^{\dagger} \right] = 1.

現在,讓 \left|\psi_E\right\rangle 代表帶有能量 E 的能量本徵態。任何右括向量 (ket) 與自身的內積必須是非負值,因此

\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right)  = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0

aa 以哈密頓算符表示:

\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle =  \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0,

因此 E \ge \hbar \omega / 2 。注意到當 (a \left| \psi_E \right \rangle) 為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而 E = \hbar \omega / 2 。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態 (n = 0)。

利用上面等式,可以指出 aaH 的對易關係:

\begin{matrix}
\left[H , a \right]         &=& - \hbar \omega a \\
\left[H , a ^\dagger\right] &=&   \hbar \omega a^\dagger
\end{matrix}.

因此要是 (a \left| \psi_E \right \rangle) 並非零右括向量,

\begin{matrix}
H (a \left| \psi_E \right\rangle)
 &=& (\left[H,a\right] + a H) \left|\psi_E\right\rangle \\
 &=& (- \hbar\omega a + a E) \left|\psi_E\right\rangle \\
 &=& (E - \hbar\omega) (a\left|\psi_E\right\rangle)
\end{matrix}.

類似地,也可以指出

H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle).

換句話說,a 作用在能量為 E 的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 E - \hbar \omega 的本徵態,而 a 作用在能量為 E 的本徵態,產生出另一個能量為 E + \hbar \omega 的本徵態。因為這樣,a 稱作降算符a 稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中,aa 也分別稱作消滅算符創生算符,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態,可以拿降算符 a 作用在其上,產生了另一個能量少了 \hbar \omega 的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到 E = −∞ 。不過這樣就就與早先的要求 E \ge \hbar \omega / 2 相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作 \left| 0 \right \rangle (勿與零右括向量混淆),使得

a \left| 0 \right\rangle = 0(即 a\left| 0 \right\rangle 作用後產生零右括向量 (zero ket))。

在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了

H \left|0\right\rangle = (\hbar\omega/2) \left|0\right\rangle

最後,透過將升算符作用在 \left| 0 \right \rangle 上,並且乘上適當的歸一化因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合 \left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\} 使得

 H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle

這與前段所給的譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態,a \left| 0 \right\rangle = 0 變為

 x\psi_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi_0 (x)}{dx} = 0

所以,

 \frac{d\ln \psi_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant}

這個方程式的解為,經過歸一化,

\psi_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar}

自然長度與能量尺度[编辑]

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以 \hbar \omega 為單位來測量能量,以及 \left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2} 為單位來測量距離,則薛丁格方程式變成:

 H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2,

且能量本徵態與本徵值變成

\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)
E_n = n + {1\over 2}.

為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被運用到。

案例:雙原子分子[编辑]

在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[1]

\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}}

其中

\omega = 2 \pi f 為角頻率,
k共價鍵勁度係數
m_r約化質量

N 維諧振子[编辑]

一維諧振子很容易地推廣到 N 維。在一維中,粒子的位置是由單一座標 x 來指定的。在 N 維中,這由 N 個位置座標所取代,以 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N 標示。對應每個位置座標有個動量,標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係

\begin{matrix}
\left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\
\left[x_i , x_j \right] &=& 0                  \\
\left[p_i , p_j \right] &=& 0
\end{matrix}.

系統的哈密頓算符

 H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)

從這個哈密頓量的形式,可以發覺,N 維諧振子明確地可比擬為 N 個質量相同,彈性常數相同,獨立的一維諧振子。在這案例裏,變數 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_NN 個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性,允許位勢被分離為 N 個項目,每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數 \{n\} ,一個 N 維諧振子的能量本徵函數 \langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle 等於 N 個一維本徵函數 \langle x_i|\psi_{n_i} \rangle 的乘積:

\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle=\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle

採用階梯算符方法,定義 N階梯算符

a_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right)
a^{\dagger}_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right)

類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個 a_ia^{\dagger}_i 算符將能量分別降低或升高 \hbar\omega 。哈密頓量是

H =  \hbar \omega \, \sum_{i=1}^N \left(a_i^\dagger \,a_i + \frac{1}{2}\right)

這量子系統的能階 E

 E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]

其中,正整數 n_i|\psi_{n_i} \rangle 的量子數。

如同一維案例,能量是量子化的。N基態能階是一維基態能階的 N 倍。只有一點不同,在一維案例裏,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 N 維案例裏,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併的,都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定 n=n_1+n_2+n_3 。每一個 n 相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予 n ,首先選擇一個 n_1 。那麼,n_2+n_3=n - n_1 ,有 n - n_1+1 個值,從 0n - n_1 ,可以選擇為 n_2 的值。n_3 的值自動的設定為 n - n_1 - n_2 。因此,簡併度是

d_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

對於 N 維案例,

d_n = \binom{N+n-1}{n}

案例:三維均向諧振子[编辑]

參閱三維均向諧振子

球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法,只有球對稱位勢不一樣:

V(r) = {1\over 2} \mu \omega^2 r^2

其中,\mu 是這問題的質量。由於 m 會被用來標記磁量子數,所以,用 \mu 來標記質量。

這問題的薛丁格方程式

 - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + {1\over 2} \mu \omega^2 r^2\psi=E\psi

薛丁格方程式的全部解答寫為

\psi_{klm}(r,\theta,\phi) = N_{kl} r^{l}e^{-\nu r^2}{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2) Y_{lm}(\theta,\phi)

其中,

N_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2\nu ^{3}}{\pi }}\frac{2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{
(2k+2l+1)!!}} 是歸一常數,
\nu \equiv {\mu \omega \over 2 \hbar}
{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2)k廣義拉格耳多項式 (generalized Laguerre polynomials) ,k 是個正整數,
Y_{lm}(\theta,\phi)\,球諧函數
\hbar約化普朗克常數

能量本徵值是

E=\hbar \omega (2k+l+{3\over 2})

能量通常可以用一個量子數 n 來描述:

n\equiv 2k+l

由於 k 是個正整數,假若 n 是偶數,那麼,角量子數也是偶數:

l=0,\,2,\,\dots,\,n - 2,\,n

假若 n 是奇數,那麼,角量子數也是奇數:

l=1,\,3,\,\dots,\,n - 2,\,n

磁量子數 m 滿足不等式

-l \le m \le l

對於每一個 nl ,存在 2l+1 個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數 m 。因此,n 的兼併度是

\sum_{l=i,\,i+2,\,\ldots,\,n - 2,\,n} (2l+1) = {(n+1)(n+2)\over 2}

其中,總和的指數 l 的初始值是 i=n\ mod\ 2 。 這結果與先前的方程式相同。

耦合諧振子[编辑]

兩個質點的耦合諧振子

設想 N 個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N (也就是說,假若一個質點 k 位於其平衡點,則 x_k=0 )。整個系統的哈密頓量是

 H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2\sum_{1\le i\le N} (x_i - x_{i-1})^2

其中,x_0=0

很奇妙地,這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固體物理學裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J。. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed。). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L。. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5. 

外部連結[编辑]