量子電動力學

量子电动力学（Quantum Electrodynamics），简称QED，它的建立是量子场论发展历史上的一个重要里程碑。它结合了量子力学和狭义相对论，用量子场的方法来描述粒子之间的电磁相互作用。它的主要创造者有施温格、费曼、朝永振一郎和弗里曼·戴森。它的实验先契是兰姆位移，即精细结构常数的测量。在理论的构造过程中，这些先行者们建立了重整化理论，对以后的量子场论，粒子物理和凝聚态物理理论都带来了深远的影响。量子电动力学也标志了二战后美国物理的崛起和欧陆的衰退，它奠定了美国在今后世界物理学界的领袖地位。

量子电动力学可能是人类历史上最为精确的物理理论，而被稱為「物理學的珍寶」("the jewel of physics")。最近竹下東一郎计算的精细结构常数与实验的结果吻合到了小数点后的第八位。

歷史

朱利安·施温格

量子电动力学起源于1927年保罗·狄拉克将量子理论应用于电磁场量子化的研究工作。他将电荷和电磁场的相互作用处理为引起能级跃迁的微扰，能级跃迁造成了发射光子数量的变化，但总体上系统满足能量和动量守恒。狄拉克成功地从第一性原理导出了爱因斯坦系数的形式，并证明了光子的玻色-爱因斯坦统计是电磁场量子化的自然结果。现在人们发现，能够精确描述这类过程是量子电动力学最重要的应用之一。另一方面，狄拉克所发展的相对论量子力学是量子电动力学的前奏，狄拉克方程作为狭义相对论框架下量子力学的基本方程，所描述的电子等费米子的旋量场的正则量子化是由匈牙利-美国物理学家尤金·维格纳和约尔当完成的。狄拉克方程所预言的粒子的产生和湮灭过程能用正则量子化的语言重新加以描述。

经历了早期取得的成功之后，量子电动力学遭遇了理论上一系列严重的困难：很多原本看上去平常的物理量，例如在外界电场作用下电子的能态变化（在量子电动力学的观点看来属于电子和光子的相互作用），在量子场论的计算方法下会发散为无穷大。到了二十世纪四十年代，这一问题被美国物理学家理查德·费曼、朱利安·施温格、日本物理学家朝永振一郎等人突破性地解决了，他们所用的方法被称为重整化。尽管他们各自研究所用的数学方法不同，美籍英裔物理学家弗里曼·戴森於1949年证明了费曼所用的路径积分方法和施温格与朝永振一郎所用的算符方法的等价性。量子电动力学的研究在这时达到了顶峰，费曼所创造的费曼图成为了研究相互作用场的微扰理论的基本工具，从费曼图可直接导出粒子散射的S矩阵。费曼图中的内部连线对应着相互作用中交换的虚粒子的传播子，连线相交的顶点对应着拉格朗日量中的相互作用项，入射和出射的线则对应初态和末态粒子的能量、动量和自旋。由此，量子电动力学成为了第一个能够令人满意地描述电子与反电子（旋量场）和光子（规范场）以及粒子产生和湮灭的量子理论。

量子电动力学是迄今为止建立的最精确的物理理论：量子电动力学的实验验证的主要方法是对精细结构常数的测量，至今在不同的测量方法中最精确的是测量电子的反常磁矩。量子电动力学中建立了电子的无量纲旋磁比（即朗德g因子）和精细结构常数的关系，磁场中电子的回旋频率和它的自旋进动频率的差值正比于朗德g因子。从而将电子回旋轨道的量子化能量（朗道能级）的极高精度测量值和电子两种可能的自旋方向的量子化能量相比较，就可从中测得电子自旋g因子，这项工作是由哈佛大学的物理学家於2006年完成的，实验测得的g因子和理论值相比误差仅为一万亿分之一，而进一步得到的精细结构常数和理论值的误差仅为十亿分之一。对里德伯常量的测量到目前为止是精度仅次于测量反常磁矩的方法，但它的精确度仍要低一个数量级以上。

數學

數學上，量子電動力學有著阿貝爾群規範理論的結構，並有一對稱群——U(1)規範群。媒介帶電自旋-1/2場之間交互作用的規範場是電磁場。量子電動力學中透過光子來媒介數個電子或正子間之交互作用的拉格朗日量是

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c\gamma^\mu D_\mu - m c^2)\psi -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \,$

或

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \,$

其中

$\gamma_\mu \,\!$為狄拉克矩陣，

狄拉克旋量$\ \psi$以及其狄拉克伴旋量(Dirac adjoint) $\bar\psi$為代表帶電粒子的場，特別是由狄拉克旋量所代表的電子場與正子場，

$D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu \,\!$為規範協變導數，而$\ e$為耦合強度（等同於基本電荷），

$\ A_\mu$為協變電磁場向量勢，

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$為電磁場張量；

另外

c是光速，

$\hbar$是約化普朗克常數，

$\mu_0$是磁導率；

第二個式子採用$c = \hbar = \mu_0 = 1$的單位制，以下我們採用之。

歐拉-拉格朗日方程式

推導開始，首先將D的定義代入拉格朗日量，得到L為

$\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \quad \quad \quad(1) \,$

再來將拉格朗日量代入針對代表帶電粒子場的歐拉-拉格朗日方程式

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,$

以找出量子電動力學的場方程式。

源自此一拉格朗日量的兩項則分別為

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \bar{\psi} \gamma^\mu \right) \,$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu - m \bar{\psi} \,$

將此二項代回歐拉-拉格朗日方程式 (2) 得到

$i \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu + e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu + m \bar{\psi} = 0 \,$

以及複數共軛

$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma_\mu A^\mu \psi - m \psi = 0 \,$。

若將後者的中間項移到等號右邊則得：

$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma_\mu A^\mu \psi \,$

左手邊則形式與原本狄拉克方程式相似，而右手邊則是與電磁場的交互作用。

另個更重要的方程式是將拉格朗日量代入另個歐拉-拉格朗日方程式，但這個方程式現在是針對$A^\mu$場：

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3) \,$

類似的兩項在此則為

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) = \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -e\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \,$

而此二項代回到 (3) 可得到

$\partial_\nu F^{\nu \mu} = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \,$

以費曼圖表示

包含電磁場張量的拉格朗日量部分描述了電磁場的自由演化，而帶有規範協變導數的類狄拉克方程式則描述電子場與正子場的自由演化，以及它們與電磁場的交互作用。

對於真空極化函數$\Pi\,$ 的 單圈(one-loop)貢獻	電子自身能量函數$\Sigma \,$ 的 單圈貢獻	頂點函數(vertex function) $\Gamma\,$ 的 單圈貢獻

數列發散

弗里曼·戴森利用一則論述證明在量子電動力學裡微擾數列的收斂半徑是零。其基本的論述如下：假如耦合常數為負，庫侖力常數是負的，這等效於電磁作用力被反轉。此狀況下同電荷會相吸，異電荷會相斥，使得真空不穩定而自動衰變到一堆電子與正子，且電子與正子會自動分離於宇宙的不同角落。由於在負耦合常數下有此理論有問題，無論在耦合常數為零的點圈選多小的一個範圍，都會包含這些有問題的負耦合常數，因此數列的收斂半徑是零。量子電動力學的微擾數列不會收斂，只會是漸進級數。當我們計算更多項時，並不會改善其結果。我們可以認為這是微擾理論的問題，需要一個新的理論來描述，或是直接計算而不管它。

相關條目

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• 純量電動力學
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• 史溫格-戴森方程式
• 自身能量
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外部連結

• Feynman's Nobel Prize lecture describing the evolution of QED and his role in it
• Feynman's New Zealand lectures on QED for non-physicists