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金兹堡-朗道方程

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金兹堡-朗道方程是1950年维塔利·金兹堡朗道朗道二级相变理论的基础上提出的一个描述超导现象的唯象数学模型。

在朗道二级相变理论的基础上,金兹堡和朗道认为在临界相变点附近,超导体的自由能 F 可以按屬於複數的序参量 ψ展开成

 F = F_n + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m} \left| \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \mu_0\frac{|\mathbf{H}|^2}{2}

其中 Fn 是常态下的自由能,αβ 为实验可变参数,α的物理量纲是能量, β 的物理量纲是“能量×体积”,A磁矢势H 是磁场强度矢量,有物理意义的序参量 ψ的平方的物理量纲是单位体积的倒数。让自由能取极小值,即得金兹堡-朗道方程

 \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0
 \mathbf{j} = \frac{2e}{m} \mathrm{Re} \left\{ \psi^* \left(-i\hbar\nabla - 2e \mathbf{A} \right) \psi \right\}

其中 j 为电流密度矢量,仅取实数部分。

金兹堡-朗道方程中, 若 \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi = 0  \, ,则可解得 |\psi|^2 = - \frac{\alpha} {\beta} 。 超导实验发现:α(T) = α0 (T - Tc) ,于是,可得朗道有序参量的平方为 |\psi|^2 = - \frac{\alpha_{0} (T - T_{c})} {\beta}


1957年苏联物理学家阿列克谢·阿布里科索夫基于这个模型对II型超导体的特性做出了理论上的解释。为了表彰这个模型在超导理论研究中的突出贡献,2003年的诺贝尔物理学奖授予了金兹堡,阿布里科索夫以及安东尼·莱格特(以表彰其对超流理论的贡献)。

解析解[编辑]

金兹堡-朗道方程可表为下列非线性偏微分方程:[1]


\frac{\partial u}{\partial t}-a*u*\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-b*u+c*|u|^2*u=0

金兹堡-朗道方程有下列行波解:

sol[1] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c
sol[2] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*coth(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c
sol[3] := u = -(1/2*I)*b/\sqrt(-c*b)-(1/2)*\sqrt(-c*b)*tan(_C1+(1/4)*\sqrt(-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c
sol[4] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c
  • sol[5] :=\frac{ -\sqrt(3)*exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*\sqrt(3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t))}
Ginzburg Landau equation animation1 
Ginzburg Landau equation animation2 
Ginzburg Landau equation animation3 
Ginzburg Landau equation animation4 
Ginzburg-Landau equation animation5 
 
 
 
 
 
 

参考文献[编辑]

  1. ^ Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p15 Springer
  1. *谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》 上海科学技术出版社
  2. *阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
  3. 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
  4. 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
  5. *何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
  6. Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
  7. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
  8. Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
  9. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
  10. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
  11. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
  12. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
  13. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

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