錢珀瑙恩數

錢珀瑙恩數（Champernowne constant） $C 10$ 是一個實數的超越數，其十進制表示法有重要的特性，得名自數學家D. G.錢珀瑙恩（英语：D. G. Champernowne），在1933年以研究生的身份發表有關錢珀瑙恩數的論文。

在十進制下，可以用連續整數來定義錢珀瑙恩數：

C 10 = 0.12345678910111213141516\dots

（OEIS中的数列A033307）.

也可以定義其他進制系統下的錢珀瑙恩數：

C 2 = 0.11011100101110111\dots 2

C 3 = 0.12101112202122\dots 3

.

錢珀瑙恩數可以用無窮級數來表示：

$C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{k=0}^{n-1}10^k(n-k)}}$

上式也可以改為 $b$ 進制下的錢珀瑙恩數，將10和9改為 $b$ 及 $b - 1$ 即可。

錢珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比尔字（Barbier word）是指由C_k各位數形成的數列^[1]^[2]。

十進制下的錢珀瑙恩數 $C 10$ 為正規數，是每個數字出現機會均等的實數。

參考資料 [编辑]

^ Cassaigne & Nicolas (2010) p.165
^ *Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003. 299. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.

Cassaigne, J.; Nicolas, F. Factor complexity//Berthé, Valérie; Rigo, Michel (编). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 135. Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204.

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