钱包悖论

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錢包悖論,又称錢包遊戲,是概率论中的一个悖论

内容[编辑]

A和B两人进行一场赌博

赌法是:由第三者计算A、B二者钱包里面的,钱少者可以赢走钱多者的钱。

A对于这场赌博的想法为:若B的钱比我少,我可能输掉我现有的钱。但若B的钱比我多,我赢了,就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多,所以这场赌博对我有利。

而B的想法也是如此。

二人想法的逻辑都正确,但若认为二人的想法都正确,又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。这显然是一个悖论

来源[编辑]

钱包悖论源自法国数学家莫里斯·克莱特契克,在他的《数学消遣》书中赌的是领带而非.

“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人,让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想:我知道我的领带值多少。我也许会失去它,可是我也可能赢得一条更好的领带,所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢?”

分析[编辑]

克莱特契克的分析[编辑]

克莱特契克在他的书中指明必须限制条件,这才是一场公平的游戏,例如A,B二人对对方穿领带的习惯一无所知等。

他还假定每一个比赛者带有从0到任意数量(比如说一百元)的钱。以此假定构成两人钱数的矩阵,就可看出这个此赛是“对称的”,不会偏向任何一方。

但他没有指出两个比赛者的想法错在哪里。

考虑胜算[编辑]

其实问题就在A,B二人只以“可以赢更多的钱”这点,就做出这场赌博对自己有利的结论,当然是错误的。 这场赌博应从胜算去判断对谁有利,而不是以“可以赢更多的钱”来判断

若以谁有胜算来判断,必须注意二点:

  1. 必须计算期望值
  2. 「钱包里有多少钱」是很随机的。无法有一定的标准。难以论定这场赌博的胜负,但若将「所有人类的钱包里的钱」相加后除以全人类数目,还是可以得出一个平均值

若钱包里的钱比平均值小,那胜算比较大,反之较小。各国家,各地区人的钱包里的平均值都不一样,全人类太广泛,以国家,地区来分更加有胜算。

但就算是费很大力气来得到这平均值,还是很难确定有胜算的。由此可见A,B二人认为这场赌博对自己有利的结论是做得多么轻易,缺乏思考。

其实最有胜算的方法是知道对方的钱包里有多少钱。


另一种分析[编辑]

钱包只有二个,所以钱包里的钱只存在二个数:

X,Y,设X>Y。

A有1/2机会是X,1/2机会是Y;B也如是。

如果A的钱是Y,则赢得X;如果A的钱是X,则输掉X;B也如是。

结论:1/2机会赢,1/2机会输。

而A,B想法的问题出在,他们假设了3个数:

设A有X元,B有Y元,或Z元(Z>X)。

但实际上只存在2个数,所以这是错误的论证,推理出错误的结论。

还有一种分析[编辑]

假如A(或B)有可赌性,那么A(或B)钱数的可能性的最大值和最小值是一样的,还有可能性的最大值是有限的。可A(或B)觉得无论自己的值是多少,对方都可能超越,可是当自己为可能性的最大值时,则没有可能被超越,否则的话胜算则偏向可能性的最大值小的一方。对方可能性的最大值被认为是无限制的话,就导致了赢的可能性不会随钱数的增加而减少。

现实例子[编辑]

最常见的就是在赌博时,期待「如果贏的話、會贏得比輸得更多」。例如玩吃角子老虎機時认为「就算只中櫻桃,也是翻五倍!」但問題在於未必会中奖。