链复形

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数学上,同调代数领域中的一个链复形(A_\bullet, d_\bullet)是一个交换群或者的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : AnAn-1相连,使得每两个连接的映射的复合为零:dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式:

\ldots \longrightarrow 
A_{n+1} \begin{matrix}  d_{n+1} \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_n     \begin{matrix}  d_n     \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1} \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_2     \begin{matrix}  d_2     \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix}  d_1 \\ \longrightarrow \\   \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix}  d_0 \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix} 0.

定義鏈複形的同調群H_n(A_\bullet) := \mathrm{Ker}(d_n)/\mathrm{Im}(d_{n+1})。當所有同調群為零時,此鏈複形為正合的。

链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形(A^\bullet, d^\bullet)是一个交换群或者的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : AnAn+1相连,使得任何两个接连的映射的复合为零:dn+1 o dn = 0 对于所有的n:

0 \longrightarrow 
A_0 \begin{matrix} d_0  \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1  \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_2  \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1}     \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix}  d_n \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_{n+1} \longrightarrow \ldots.

定義上鏈複形的上同調群H^n(A^\bullet) := \mathrm{Ker}(d^n)/\mathrm{Im}(d^{n-1})。當所有上同調群為零時,此上鏈複形正合。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群(对于上链复形是上同调群);在更抽象的范围里,很多等价关系被应用到复形上(例如从链同伦的思想开始,以下将解说)。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个有界复形是其中,几乎所有Ai为零—这样一个有限的复形,用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个(有限)单纯复形同调理论的复形。

例子[编辑]

奇异同调[编辑]

假定我们给定一个拓扑空间X

定义Cn(X)(对于自然数n)为自由交换群X中的奇异单纯形形式化的生成,并定义边界映射

\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X): \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto 
(\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|[v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),

其中帽子表示省略一个顶点。也就是说,一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0,所以(C_\bullet, \partial_\bullet)是一个链复形;奇异同调 H_\bullet(X)是该复形的同调类;也就是说,

H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}.

德拉姆上同调[编辑]

任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群(事实上一个R-向量空间)称为Ωk(M)。 外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M),而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出,所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形

 \Omega^0(M) \to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \ldots.

该复形的上同调是德拉姆上同调

H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_{k+1} / \mbox{im } d_k.

鏈映射[编辑]

兩個鏈複形 (A_\bullet, d_{A,\bullet})(B_\bullet, d_{B,\bullet}) 之間的鏈映射是一族同態 f_n : A_n \rightarrow B_n,使之滿足:  f_n \circ d_{A,n}= d_{B,n} \circ f_{n+1};全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似:兩個上鏈複形 (X^\bullet, d_X^\bullet)(Y^\bullet, d_Y^\bullet) 之間的上鏈映射是一族同態 f^n : X^n \rightarrow Y^n,使之滿足:  f^n \circ d_X^n = d_Y^n \circ f^{n+1}。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說,拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射;而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子:空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上,因而變得容易操作與計算。

鏈同倫[编辑]

兩個鏈映射 f_n, g_n: A_\bullet \rightarrow B_\bullet 稱作是同倫的,若且唯若存在一族同態 D_n: A_n \rightarrow B_{n+1} 使得 f_n - g_n = d_{n+1} \circ D_n + D_{n-1} \circ d_n

上鏈映射的同倫定義也類似,惟此時考慮的是一族同態 D^n: X^n \rightarrow Y^{n+1}。以下給出上鏈同倫的圖解: Diagram chain homotopy.png

(上)鏈同倫的鏈映射在(上)同調群上誘導出相同的映射。特別是:同倫於恆等映射 id. 的(上)鏈映射是擬同構

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

参看[编辑]