链式法则

链式法则（chain rule），是求复合函数导数的一个法则。设$f$和$g$为两个关于$x$可导函数，则复合函数$(f \circ g)(x)$的导数$(f \circ g)'(x)$为：

$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x).$

例子

求函数 $f(x) = (x^2 + 1)^3$的导数。设 $g(x) = x^2 + 1$，$h(x) = x^3.$

$f '(x) \,$	$= h '(g(x)) g ' (x) \,$	$= 3(g(x))^2(2x) \,$	$= 3(x^2 + 1)^2(2x) \,$
	$= 6x(x^2 + 1)^2. \,$

求函数 $\arctan\,\sin\, x$的导数。

$\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}$

$\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}$

证明

设f和g为函数，x为常数，使得f在g(x)可导，且g在x可导。根据可导的定义，

$g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$，其中当$\delta\to 0$时，$\epsilon(\delta) \to 0 \,$。

同理，

$f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,$，其中当$\alpha\to 0. \,$时，$\eta(\alpha) \to 0 \,$。

现在

$f(g(x+\delta))-f(g(x))\,$	$= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,$
	$= \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,$

其中$\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$. 注意到当$\delta\to 0$时，$\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)$及$\alpha_\delta \to 0$，因此 $\eta(\alpha_\delta)\to 0$。因此

$\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)).$

多元复合函数求导法则

考虑函数z = f(x, y)，其中x = g(t)，y = h(t)，g(t)和h(t)是可微函数，那么：

${\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.$

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u = h(x, y)，v = g(x, y)，且这些函数都是可微的。那么，z的偏导数为：

${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.$

如果我们考虑

$\vec r = (u,v)$

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与$\vec r$的偏导数的数量积：

$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}.$

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}.$

高阶导数

复合函数的最初几个高阶导数为：

$\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

$\frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.$

参见

• 乘积法则
• 除法定则