長度 (模論)

在數學中，設 $A$ 為環，一個 $A$-模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機

單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈：

$\{0\} \subsetneq M$

單模是容易處理的對象。對於一個環 $A$ 上的 $A$-模 $M$，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：

$M_0 = \{0\} \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1} \subsetneq M_n = M$

使得每個子商 $M_k/M_{k-1}$ 都是單模，那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義，這時 $M$ 將是有限長度的模，其長度 $\ell_R(M)$恰為 $n$。

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子：設 $E$ 是域 $k$ 上的有限維向量空間，那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 $(E_k)_{0 \leq k}$，使得維度在每一步都加一：

$E_0 = \{0\} \subsetneq E_1 \subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1} \subsetneq E_n = E$

而此時 $\dim_k E = \ell_k(E)$，這種資料稱作旗。

定義

設 $A$ 為一個環（可能非交換）， 一個 $A$-模 $M$ 的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界：此即最大可能的整數 $n$（可能是無窮大），使得 $M$ 中存在嚴格遞增的子模鏈 $M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n$。模 $M$ 的長度記為 $\ell_A(M)$，不致混淆時也逕寫作 $\ell(M)$。

例子

• 模 $M$ 是單模的充要條件是長度為一。
• 對於向量空間，長度等於維度。
• 整數環 $\Z$ 視為 $\Z$-模，則其長度為無窮大，因為存在任意長的子模鏈 $2^n \Z \subsetneq 2^{n-1} \Z \subsetneq \cdots \subsetneq 2 \Z \subsetneq \Z$。
• 設正整數 $n$ 的素因數分解為 $n = \prod_p p^{n_p}$，則有

$\ell_\Z(\Z / n\Z) = \sum_p n_p$

性質

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如：若 $M$ 為有限長模，則其子模皆有限長，設 $N, P$ 為兩個子模，$\ell(N) = \ell(P)$ 且 $N \subseteq P$，則 $N=P$。

我們有 Grassman 公式：

$\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)$

對於有限長模 $M$，一個極大的子模鏈 $\{0\} = M_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M$ 稱為一個合成列，其長度 $n$ 是固定的，且合成因子 $M_i/M_{i+1}$ 在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外，一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X