長球面坐標系

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圖 1 )長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 \mu=1 。藍色半個雙葉雙曲面的 \nu=45^{\circ} 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ} (黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right| )。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)
圖 2 )兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸,豎軸是 z-軸。紅色橢圓( \mu-等值線)變成上圖的紅色長球面( \mu 坐標曲面),而 x>0 青藍色雙曲線( \nu-等值線)則變成藍色雙葉雙曲面( \nu 坐標曲面)。

長球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面;兩個焦點 F_{1}F_{2}直角坐標分別為 (0,\ 0,\  - a)(0,\ 0,\ a) 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到長球面坐標系。(假若,繞著 y-軸旋轉,則可以得到扁球面坐標系。)橢圓坐標系的兩個焦點,包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例,其兩個最短的半軸的長度相同。

基本定義[编辑]

在三維空間裏,一個點 P 的長球面坐標 (\mu,\ \nu,\ \phi) 常見的定義是

x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi
y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi
z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu

其中,\mu\ge 0 是個實數,弧度 0 \le \nu \le \pi ,弧度  0 \le \phi \le 2\pi

坐標曲面[编辑]

\mu 坐標曲面長球面

\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交,是一個橢圓。沿著 x-軸,橢圓的短半軸長度為 a\sinh\mu ,沿著 z-軸,橢圓的長半軸長度為 a\cosh\mu 。橢圓的焦點都包含於 z-軸,z-坐標分別為 \pm a

\nu 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面

\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

\nu<\pi/2 時,坐標曲面在 xy-平面以上;當 \nu>\pi/2 時,坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi 坐標曲面是個半平面 :

x\sin\phi - y\cos\phi=0

標度因子[编辑]

長球面坐標 \mu\nu 的標度因子相等:

h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}

方位角 \phi 的標度因子為

h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi

拉普拉斯算子


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + 
\coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + 
\cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}
\right] + 
\frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

當邊界條件涉及長球面時,長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如,位置分別在 z-軸兩個焦點的電子,會產生怎樣的靜電場?一個關於氫離子 H_2^+ 的問題是,當移動於兩個正價的原子核中間時,一個電子波函數是什麼?另外一個很實際的問題是,兩個小電極尖端之間的電場是什麼?極限案例包括一根電線段 (\mu=0) 產生的電場,缺了一線段的一根電線 (\nu=0) 產生的電場。

第二種表述[编辑]

圖 3 )第二種長球面坐標系 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 的三個坐標曲面。紅色長球面的 \sigma=1.54 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 \tau=0.71 坐標曲面 。黃色半平面的 \phi=-60^{\circ} 坐標曲面 (黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right| )。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示)。直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)

另外,還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 (\sigma,\ \tau,\ \phi)

\sigma=\cosh\mu
\tau=\cos \nu
\phi=\phi

其中,\sigma\ge 1 是個實數,1\ge \tau\ge - 1 是個實數,弧度  0 \le \phi \le 2\pi

扁球面坐標系不同,長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏,長球面坐標系與直角坐標一一對應關係:

x  = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi
y  = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi
z = a\ \sigma\ \tau

坐標曲面[编辑]

\sigma 坐標曲面長球面

\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交,是一個橢圓。沿著 x-軸,橢圓的短半軸長度為 a \sqrt{\sigma^2 - 1} ,沿著 z-軸,橢圓的長半軸長度為 a\sigma 。橢圓的焦點都包含於 z-軸,z-坐標分別為 \pm a

\tau 坐標曲面是半個旋轉雙曲面

\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1

\tau>0 時,坐標曲面在 xy-平面以上;當 \tau<0 時,坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi 坐標曲面是個半平面 :

x\sin\phi - y\cos\phi=0

任何一點 P 與焦點 F_{1}F_{2} 的距離 d_1d_2 ,可以一個很簡單的公式表示:

d_{1}+d_{2} = 2a\sigma
d_{1} - d_{2}= 2a\tau

所以,點 P 與焦點 F_{1} 的距離 d_1a(\sigma+\tau) ,點 P 與焦點 F_{2} 的距離 d_2a(\sigma - \tau) 。(回想 F_{1}F_{2} 都是在 z-軸,分別位於 z= - az=+a 。)

標度因子[编辑]

第二種長球面坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 的標度因子分別為:

h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}
h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}
h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi

拉普拉斯算子


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

如同球坐標解答的形式為球諧函數拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解,得到形式為長扁球諧函數的答案。假若,邊界條件涉及長球面,我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱[编辑]

參考目錄[编辑]

不按照命名常規[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  採用 \xi_1=a\cosh\mu\xi_2=\sin\nu\xi_3=\cos\phi
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  如同 Morse & Feshbach (1953) ,採用 u_k 來替代 \xi_k
  • Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  採用混合坐標 \xi=\cosh\mu\eta=\sin\nu\phi=\phi

按照命名常規[编辑]

  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  採用第一種表述 (\mu,\ \nu,\ \phi) ,又加介紹了簡併的第三種表述 (\sigma,\ \tau,\ \phi)
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  如同 Korn and Korn (1961) ,但採用餘緯度 \theta=90^{\circ} - \nu 來替代緯度 \nu
  • Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  Moon and Spencer 採用餘緯度常規 \theta=90^{\circ} - \nu ,又改名 \phi\psi

特異命名常規[编辑]

  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。