長球面坐標系

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圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 \mu=1\,\! 。藍色半個雙葉雙曲面的 \nu=45^{\circ}\,\! 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ}\,\! （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right|\,\! ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)\,\! 。
圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ \mu\,\!-等值線）變成上圖的紅色長球面（ \mu\,\! 坐標曲面），而 x>0\,\! 青藍色雙曲線（ \nu\,\!-等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ \nu\,\! 坐標曲面）。

長球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F_{1}\,\! 與 F_{2}\,\! 的直角坐標分別為 (0,\ 0,\ - a)\,\! 與 (0,\ 0,\ a)\,\! 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

目录

[编辑] 基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 (\mu,\ \nu,\ \phi)\,\! 常見的定義是

x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi\,\! ，
y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi\,\! ，
z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu\,\! ；

其中，\mu\ge 0\,\! 是個實數，弧度 0 \le \nu \le \pi\,\! ，弧度 0 \le \phi \le 2\pi\,\! 。

[编辑] 坐標曲面

\mu\,\! 坐標曲面是長球面：

\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1\,\! 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a\sinh\mu\,\! ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\cosh\mu\,\! 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a\,\! 。

\nu\,\! 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1\,\! 。

當 \nu<\pi/2\,\! 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \nu>\pi/2\,\! 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi\,\! 坐標曲面是個半平面 ：

x\sin\phi - y\cos\phi=0\,\! 。

[编辑] 標度因子

長球面坐標 \mu\,\! 與 \nu\,\! 的標度因子相等：

h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}\,\! 。

方位角 \phi\,\! 的標度因子為

h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu\,\! 。

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi\,\! 。

拉普拉斯算子是

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + \coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + \cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right] + \frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}} \,\! 。

其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\! ， \nabla \times \mathbf{F}\,\! ，都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi)\,\! 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

[编辑] 應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 H_2^+\,\! 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (\mu=0\,\!) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (\nu=0\,\!) 產生的電場。

[编辑] 第二種表述

圖 3 ）第二種長球面坐標系 (\sigma,\ \tau,\ \phi)\,\! 的三個坐標曲面。紅色長球面的 \sigma=1.54\,\! 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 \tau=0.71\,\! 坐標曲面 。黃色半平面的 \phi=-60^{\circ}\,\! 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right|\,\! ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)\,\! 。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 (\sigma,\ \tau,\ \phi) \,\! ：

\sigma=\cosh\mu\,\! ，
\tau=\cos \nu\,\! ，
\phi=\phi\,\! 。

其中，\sigma\ge 1\,\! 是個實數，1\ge \tau\ge - 1\,\! 是個實數，弧度 0 \le \phi \le 2\pi\,\! 。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

x = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi\,\! ，
y = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi\,\! ，
z = a\ \sigma\ \tau\,\! ．

[编辑] 坐標曲面

\sigma\,\! 坐標曲面是長球面：

\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1\,\! 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a \sqrt{\sigma^2 - 1}\,\! ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\sigma\,\! 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a\,\! 。

\tau\,\! 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1\,\! 。

當 \tau>0\,\! 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \tau<0\,\! 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi\,\! 坐標曲面是個半平面 ：

x\sin\phi - y\cos\phi=0\,\! 。

任何一點 P 與焦點 F_{1}\,\! ，F_{2}\,\! 的距離 d_1\,\! ，d_2\,\! ，可以一個很簡單的公式表達：

d_{1}+d_{2} = 2a\sigma\,\! ，
d_{1} - d_{2}= 2a\tau\,\! 。

所以，點 P 與焦點 F_{1}\,\! 的距離 d_1\,\! 是 a(\sigma+\tau)\,\! ，點 P 與焦點 F_{2}\,\! 的距離 d_2\,\! 是 a(\sigma - \tau)\,\! 。（回想 F_{1}\,\! ，F_{2}\,\! 都是在 z-軸，分別位於 z= - a\,\! ，z=+a\,\! 。）

[编辑] 標度因子

第二種長球面坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi)\,\! 的標度因子分別為:

h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}\,\!，
h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}\,\!，
h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}\,\!。

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi\,\! 。

拉普拉斯算子是

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}} \,\!。

其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\! ， \nabla \times \mathbf{F}\,\! ，都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi)\,\! 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

[编辑] 應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

[编辑] 參閱

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座標系統


[编辑] 參考目錄

[编辑] 不按照命名常規

  • Morse PM, Feshbach H（1953）．Methods of Theoretical Physics, Part I．New York：McGraw-Hill，p. 661．  採用 \xi_1=a\cosh\mu\,\! 、\xi_2=\sin\nu\,\! 、\xi_3=\cos\phi\,\! 。
  • Zwillinger D（1992）．Handbook of Integration．Boston, MA：Jones and Bartlett，p. 114．ISBN 0-86720-293-9．  如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 u_k\,\! 來替代 \xi_k\,\! 。
  • Smythe, WR（1968）．Static and Dynamic Electricity，3rd ed.，New York：McGraw-Hill． 
  • Sauer R, Szabó I（1967）．Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs．New York：Springer Verlag，p. 97．  採用混合坐標 \xi=\cosh\mu\,\! 、\eta=\sin\nu\,\! 、\phi=\phi\,\! 。

[编辑] 按照命名常規

  • Korn GA, Korn TM（1961）．Mathematical Handbook for Scientists and Engineers．New York：McGraw-Hill，p. 177．  採用第一種表述 (\mu,\ \nu,\ \phi)\,\! ，又加介紹了簡併的第三種表述 (\sigma,\ \tau,\ \phi) \,\! 。
  • Margenau H, Murphy GM（1956）．The Mathematics of Physics and Chemistry．New York：D. van Nostrand，p. 180–182．  如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 \theta=90^{\circ} - \nu\,\! 來替代緯度 \nu\,\! 。
  • Moon PH, Spencer DE（1988）．“Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ)”，Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions，corrected 2nd ed., 3rd print ed.，New York：Springer Verlag，pp. 28–30 (Table 1.06)．ISBN 0-387-02732-7．  Moon and Spencer 採用餘緯度常規 \theta=90^{\circ} - \nu\,\! ，又改名 \phi\,\! 為 \psi\,\! 。

[编辑] 特異命名常規

  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP（1984）．Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics)，2nd edition，New York：Pergamon Press，pp. 19–29．ISBN 978-0750626347．  視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。

[编辑] 外部連結

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