開映射和閉映射

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數學拓撲學中,開映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何開集都是開集;閉映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何閉集的像都是閉集。所以f: XY是開映射(閉映射),如果X中的開集(閉集)在f下的都為Y的開集(閉集)。

開映射和閉映射的定義中,並不要求映射連續。與之比較,映射f: XY為連續映射的定義,是所有Y的開集的原像X的開集,也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然開映射和閉映射的定義,似較連續映射為自然,但在拓撲學中其重要性不及連續映射。

例子[编辑]

  • 定義連續函數f: RRf(x)=x2,則f是閉映射,但不是開映射。
  • 任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚,若且唯若映射是開映射,或等價地,若且唯若映射是閉映射。
  • X上的恆等映射是一個同胚,故為既開且閉的。但如果XY的子空間,則僅當XY中為開集(閉集)時,從XY的包含映射X\hookrightarrow Y是開映射(閉映射)。故此映射的到達域需要指明,以辨別映射是否為開或閉映射。
  • 定義從[0,2π)到單位圓(視為R2中的圓,原點為圓心)的函數:在[0,2π)中的θ所對應的值,是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的,所以其從單位圓到[0,2π)的逆函數是既開且閉的。這個逆函數緊緻的單位圓,映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性,這點與連續映射不同。
  • Y離散拓撲,則任何到Y中的映射都是既開且閉,但這映射未必連續。例如從實數集R到整數整Z取整函數是既開且閉,但不是連續。
  • 對於任何拓撲空間的積X = Π Xi,由積拓撲的定義,其投射pi: XXi是開且連續的。不過這投射不一定是閉的:例如令p1: R2R是從R2x軸上的投射,並設A是函數f(x)=1/x圖像,即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那麼AR2中的閉集,但p1(A)不是x軸中的閉集。不過若Y緊緻集,則投射X × YX是閉映射。

性質[编辑]

一個映射f: XY是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何(任意小的)鄰域U,都存在f(x)的鄰域V使得Vf(U)。因此若fX的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集,則f是開映射。

開映射和閉映射的定義,可用內部算子閉包算子表達如下:設f: XY是映射。

  • f是開映射,若且唯若對任何AX,有f(A°) ⊆ f(A)°
  • f是閉映射,若且唯若對任何AX,有f(A) ⊆ f(A)

兩個開映射的複合是開映射;兩個閉映射的複合是閉映射,

兩個開映射的是開映射,但兩個閉映射的未必是閉映射。(例如取前述的投射p1: R2R,視之為兩個映射fg的積,其中fx軸上的恆等函數,g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函數。fg為閉映射,但p1不是。)

一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射,其逆映射是雙射的既開且閉映射,反之亦然。

一個滿射的開映射不一定是閉映射,同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射,

f是連續映射,且是開的或閉的,那麼

f為開或閉映射的條件,對前兩項只是充分條件,對第三項也是必要條件

特徵定理[编辑]

有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。

閉映射引理指,從緊緻集X豪斯多夫空間Y的連續映射f: XY都是閉且逆緊(緊緻集的原像都為緊緻)。這結果的一個變化指,局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊,則這映射是閉映射。

泛函分析中的開映射定理指,巴拿赫空間之間的連續線性算子若是滿射,則為開映射。

複分析中的開映射定理指,在複平面連通開子集上定義的非常數全純函數是開映射。

區域不變性定理指,兩個n拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射。

參考[编辑]