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閔可夫斯基時空

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阿爾伯特·愛因斯坦瑞士蘇黎世聯邦科技大學時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後,於1907年將愛因斯坦與亨德里克·勞侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空,其中光速在各個慣性參考系皆為定值,這樣的時空即以其為名,稱為閔可夫斯基時空,或稱閔可夫斯基空間

愛因斯坦一開始不認為這樣的表述有何重要性,但當他1907年開始轉往廣義相對論發展時,發現閔可夫斯基時空可說是其所要發展的理論架構的基礎,轉而對這樣的表述採取高的評價。

標準基底[编辑]

閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e0, e1, e2, e3) 使得

-\left(e_0\right)^2 = (e_1)^2 = (e_2)^2 = (e_3)^2 = 1

這些條件可以更簡要地寫成如下形式:

\langle e_\mu, e_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}

其中μ與ν涵蓋的數值有{0, 1, 2, 3},矩陣η稱為閔可夫斯基度規,數值為

\eta = \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}

相對於一組標準基底,一向量V 的分量可以寫作(V^0, V^1, V^2, V^3) ,並且我們使用愛因斯坦標記來寫V = V^\mu e_\mu\,。分量V^0稱作V 的「類時分量」(timelike component),而其他三個分量則稱作「類空分量」(spatial components)。

以分量來寫,兩個向量VW間的內積可寫成

\langle V,W\rangle = \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu = -V^0W^0 + V^1W^1 + V^2W^2 + V^3W^3

而一向量V範數(norm)平方值為

V^2 = \eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu = -(V^0)^2+(V^1)^2+(V^2)^2+(V^3)^2\,

因果結構[编辑]

四維矢量依據它們(閔可夫斯基)內積的正負號來區分。四維矢量UVW可分類如下:

  • V類時(timelike),若且唯若\eta_{\mu \nu}V^\mu V^\nu \, = V^\mu V_\mu < 0
  • U類空(spacelike),若且唯若\eta_{\mu \nu }U^\mu U^\nu \, = U^\mu U_\mu > 0
  • W(null)或稱類光(lightlike),若且唯若\eta_{\mu \nu}W^\mu W^\nu \, =W^\mu W_\mu = 0

這樣的術語源自於相對論中對於閔可夫斯基時空的使用。閔可夫斯基時空中一事件所有零向量的集合構成了該事件的光錐(light cone)。注意到這些標記的使用與參考系無關。

向量場被稱作是類時、類空或零,是看場定義所在的各點,其所對應的向量是類時、類空或零。

關於零向量一個有用的結果:「若兩個零向量A\,B\,正交(即:零內積值A\cdot B = A^\mu B_\mu = 0),則它們必定是呈比例關係A=kB\,k\,為常數)。」

一旦時間方向選定了,類時向量與零向量可以再分為各種類別。以類時向量(timelike vector)來說,我們有

  1. 未來方向(future directed)類時向量,其第一個分量為正,而
  2. 過去方向(past directed)類時向量,其第一個分量為負。

以零向量(null vector)來說,可分為三種類別:

  1. 純零向量(zero vector),其在任何基底下,所有分量皆為(0,0,0,0)
  2. 未來方向零向量,其第一個分量為正,而其余分量为0。
  3. 過去方向零向量,其第一個分量為負,而其余分量为0。

加上類空向量,全部共有六種類別。

閔可夫斯基時空中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底來做運算,則可有其他的向量組合。例如:可以輕鬆建構一種(非正交歸一)基底,整個是由零向量所組成,稱之為「零基底」(null basis)。

相關條目[编辑]