闭开集

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拓扑学中,在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又是闭集的集合。

例子[编辑]

  • 在任何拓扑空间 X 中,空集和整个空间 X 都是闭开集。
  • 有些拓樸空間內有其他開閉集,如離散空間的任意子集都是閉開集。
  • 考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X。在 X 上的拓扑是从实直线 R 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在 X 中,集合 [0,1] 和 [2,3] 都是闭开集。这是非常典型的例子: 只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的,这些单元就是闭开集。
  • 不太常见的例子,考虑所有有理数的空间 Q 带有它们的正常拓扑,和平方大于 2 的所有正有理数的集合 A。利用 √2 不在 Q 中的事实,可以非常容易的证明 AQ 的闭开子集。(还要注意 A 不是实直线 R 的闭开子集;它在 R 中既不是开集也不是闭集。)

性质[编辑]

  • 拓扑空间 X连通的,当且仅当唯一的闭开集是空集和 X
  • 集合是闭开集,当且仅当它的边界是空的。
  • 任何闭开集是(可能无限多)连通单元并集
  • 如果 X 的所有连通单元是开集(例如,如果 X 只有有限多个单元,或者 X局部连通的),则集合是 X 中的闭开集,当且仅当它是连通单元的并集。
  • 拓扑空间 X离散的,当且仅当所有它的子集都是闭开集。
  • 使用并集交集作为运算,给定拓扑空间 X 的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得: 参见Stone布尔代数表示定理

参见[编辑]