闭开集
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在拓扑学中，在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又是闭集的集合。
[编辑] 例子
- 在任何拓扑空间 X 中，空集和整个空间 X 都是闭开集。
- 有些拓樸空間內有其他開閉集，如離散空間的任意子集都是閉開集。
- 考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X。在 X 上的拓扑从实直线 R 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在 X 中，集合 [0,1] 和 [2,3] 都是闭开集。这是非常典型的例子: 只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
- 不太常见的例子，考虑所有有理数的空间 Q 带有它们的正常拓扑，和平方大于 2 的所有正有理数的集合 A。利用 √2 不在 Q 中的事实，可以非常容易的证明 A 是 Q 的闭开子集。(还要注意 A 不是实直线 R 的闭开子集；它在 R 中既不是开集也不是闭集。)
[编辑] 性质
- 拓扑空间 X 是连通的，当且仅当唯一的闭开集是空集和 X。
- 集合是闭开集，当且仅当它的边界是空的。
- 任何闭开集是(可能无限多)连通单元的并集。
- 如果 X 的所有连通单元是开集(例如，如果 X 只有有限多个单元，或者 X 是局部连通的)，则集合是 X 中的闭开集，当且仅当它是连通单元的并集。
- 拓扑空间 X 是离散的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
- 使用并集和交集作为运算，给定拓扑空间 X 的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得: 参见Stone布尔代数表示定理。
[编辑] 参见
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