闭集

满足$x^2+y^2=r^2$的点$(x, y)$着蓝色。满足$x^2+y^2<r^2$的点$(x, y)$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

不要混淆于闭流形。

性质

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于 2 的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间 $X$ 上的集合 $A$ 的闭包，即 $X$ 的闭合子集中最小的 $A$ 的父集。特别的，$A$ 的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子

• 单位区间 [0,1] 在实数上是闭集。
• 集 $[0,1]\cap \mathbb{Q}$在有理数上是闭集，但在实数上并不是闭集。
• 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数上的半开区间 $[0,1)$。

细说

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 $X$ 上的子集 $A$ 是闭合的，当且仅当 $A$ 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 $A$。 这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。 注意，这一表述仍然依赖背景空间 $X$，因为序列是否在 $X$ 中收敛依赖于 $X$ 中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间 $K$ 放在任意豪斯多夫空间 $X$ 中，$K$ 总是 $X$ 的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。 实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见

• 开集
• 闭开集
• 闭包