闭集

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满足x^2+y^2=r^2的点(x, y)着蓝色。满足x^2+y^2<r^2的点(x, y)着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

拓扑空间中,闭集是指其补集开集的集合。在一个拓扑空间内,闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中,一个闭集的极限运算是闭合的。

闭集等价的定义[编辑]

在拓扑空间内,一个集合是闭集当且仅当它与它的闭包相同。等价地,一个集合是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点。

不要混淆于闭流形

性质[编辑]

闭集包含其自身的边界。换句话说,这个概念基于“外部”的概念,如果你在一个闭集的外部,你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意,这个概念在边界为空的时候还是真的,比如在有理数的度量空间中,对于平方小于 2 的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集;有限多个闭集的并集是闭集。特别的,空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间 X 上的集合 A闭包,即 X 的闭合子集中最小的 A父集。特别的,A 的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子[编辑]

  • 区间 [a,b] 在实数上是闭集。(方括号、圆括号的集合符号,参见区间文中的解释。)
  • 单位区间 [0,1] 在实数的度量空间中是闭集。而集 [0,1]\cap \mathbb{Q}有理数上是闭集,但在实数上并不是闭集。
  • 有些集合既不是开集也不是闭集,如实数上的半开区间 [0,1)
  • 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集
  • 半区间 [1, +∞) 是闭集。
  • 康托尔集是一个独特的闭集,它包含所有边界点,并且没有一处是稠密的。
  • 辛格尔顿(Singleton)点(则为有限集)在豪斯多夫空间内是闭集。
  • 如果 XY 是拓扑空间,当且仅当 Y 中闭集的原像X 中也是闭集,从 XY 的函数 f 才是连续的。

细说[编辑]

上述闭集的定义是根据开集而来得,这一概念在拓扑空间上是有意义的,同时也适用于含有拓扑结构的其他空间,如度量空间可微流形一致空间规格空间

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 X 上的子集 A闭合的,当且仅当 A 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 A。 这一表述的价值在于,它可以用在收敛空间的定义中,而收敛空间比拓扑空间更普通。 注意,这一表述仍然依赖背景空间 X,因为序列是否在 X 中收敛依赖于 X 中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上,紧致豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说,将紧致的豪斯多夫空间 K 放在任意豪斯多夫空间 X 中,K 总是 X 的一个闭合子集;这和“背景空间”没有关系。 实际上,这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见[编辑]