阶梯形矩阵

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线性代数中,矩阵行阶梯形矩阵(Row-Echelon Form),如果:

  • 所有非零行(矩阵的行至少有一个非零元素)在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
  • 非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元,即最左边的首个非零元素,严格地比上面行的首项系数更靠右(某些版本會要求非零行的首项系数必須是1[1])。
  • 首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零 (前两条的推论).

这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵:


\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]


化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form), 也称作行规范形矩阵(row canonical form),如果满足额外的条件:

  • 每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:


\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]


注意,这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵. 例如,如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:


\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1/2  & 0 & b_1 \\
0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0    & 1 & b_3
\end{array} \right]

因为第3列并不包含任何行的首项系数.

矩阵变换到行阶梯形[编辑]

通过有限步的行初等变换, 任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间, 因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。

行阶梯形的结果并不是唯一的。例如,行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是,可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。

线性方程组[编辑]

一个线性方程组行阶梯形,如果其增广矩阵是行阶梯形. 类似的,一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形,如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形.

一些示例[编辑]

定义: 
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]

例子: 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 8 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 7
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & -6 & 33 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{array} \right]

错误示例: 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 26
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -29 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
1 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]

注:

·矩阵1.第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零(有非零项4),见定义第二条,所以不是阶梯型矩阵;

·矩阵2.全为零的行应该在非全为零行的下方,见定义第三条,所以不是阶梯型矩阵;

·矩阵3.k+1行比k行的第一个非零项之前的0少,见定义第三条,所以不是阶梯型矩阵。


简化后的行阶梯形矩阵的例子: 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccccc}
1 & 9 & 0 & 5 & 0 & 17 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array} \right]


参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson, 13, 2009年, ISBN 978-0136009290 
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