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阻尼

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一个有阻尼的弹簧振子振动示意图。从振动形式看,这是一个欠阻尼体系。

阻尼英语damping)是指任何振动系统在振动中,由于外界作用(如流體阻力摩擦力等)和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性,以及此一特性的量化表征。

概述[编辑]

物理學工程學上,阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比,与振动速度方向相反的,该模型称为粘性(或黏性阻尼模型,是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气流体对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是,自然界中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制,譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子,其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关,而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外,阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼,等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型,但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例,作一简单的说明。

粘性阻尼可表示为以下式子:


\bold{F} = -c \bold{v}
其中F表示阻尼力,v表示振子的运动速度(矢量),c 是表征阻尼大小的常数,称为阻尼系数国际单位制单位为牛顿·秒/米。

上述关系类比于电学中定义电阻欧姆定律

在日常生活中阻尼的例子随处可见,一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下,用手拨一下吉他后声音会越来越小,等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。

例子:弹簧阻尼器振子[编辑]

弹簧阻尼器振子示意图。图中B 表示阻尼系数(通常用c 表示),F 表示作用在质量块上的外力。在以下的分析中假设F = 0。

理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有:

  • 弹性力k 为弹簧的劲度系数x 为振子偏离平衡位置的位移):F_\mathrm{s} = -kx
  • 阻尼力c 为阻尼系数,v 为振子速度):F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}

假设振子不再受到其他外力的作用,于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程:


\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}

其中a加速度

运动微分方程[编辑]

上面得到的系统振动方程可写成如下形式,问题归结为求解位移x 关于时间t 函数的二阶常微分方程:

m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0

将方程改写成下面的形式:

\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.

然后为求解以上的方程,定义两个新参量:

\omega_n = \sqrt{ k \over m }
\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.

上面定义的第一个参量,ωn,称为系统的(无阻尼状态下的)固有频率。 第二个参量,ζ,称为阻尼比。根据定义,固有频率具有角速度量纲,而阻尼比为无量纲参量。

微分方程化为:


\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2  x = 0.

根据经验,假设方程解的形式为

\ x = e^{\gamma t} \

其中参数\ \gamma \ 一般为复数

将假设解的形式代入振动微分方程,得到关于γ的特征方程


\gamma^2 + 2 \zeta \omega_n \gamma + \omega_n^2 = 0.

解得γ为:


\gamma = \omega_n( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}).

系统行为[编辑]

欠阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的典型位移-时间曲线

系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率ωn和阻尼比ζ——所决定。特别地,上小节最后关于 \gamma 二次方程是具有一对互异实数根、一对重实数根还是一对共轭虚数根,决定了系统的定性行为。

临界阻尼[编辑]

\zeta=1 时,\gamma \ 的解为一对重实根,此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生活中,许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时,都相应地装有阻尼铰链,使得门的阻尼接近临界阻尼,这样人们关门或门被风吹动时就不会造成太大的声响。

过阻尼[编辑]

\zeta > 1时,\gamma \ 的解为一对互异实根,此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时,自动关门需要更长的时间。如記憶枕。

欠阻尼[编辑]

 0 < \zeta< 1时,\gamma \ 的解为一对共轭虚根,此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠阻尼的情况下,系统将以圆频率 \omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}相对平衡位置作往复振动。

方程的解[编辑]

  • 对于欠阻尼体系,运动方程的解可写成:

x (t)  \  =  \  A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d}  t + \varphi)

其中


\omega_\mathrm{d} =  \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2  }

是有阻尼作用下系统的固有频率,A 和φ 由系统的初始条件(包括振子的初始位置和初始速度)所决定。该振动解表征的是一种振幅按指数规律衰减的简谐振动,称为衰减振动(见上图中 \varsigma  < 1 的位移-时间曲线所示)。

  • 对于临界阻尼体系,运动方程的解具有形式

x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}

其中AB 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。

  • 对于过阻尼体系,定义
\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2  - 1}

则运动微分方程的通解可以写为:


x(t) = e^{ - \varsigma \omega _n t} (A \cosh \omega ^*t + B \sinh \omega ^*t)

其中AB 同样取决于初始条件,cosh 和 sinh 为双曲函数。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出,过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。

參看[编辑]

参考资料[编辑]

  • 倪振华编著,《振动力学》,西安交通大学出版社,西安,1990,ISBN 7-5605-0212-1/O·44
  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。(中文版:R.W.克拉夫,J.彭津著,王光远等译,《结构动力学》,科学出版社,北京,1981)

外部連結[编辑]