阿廷模

阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。

定義

以下固定一個環 $A$。設 $M$ 為左 $A$-模，當 $M$ 滿足下列，則稱 $M$ 為阿廷模：

對所有由 $M$ 的子模構成的降鏈 $M_1 \supset M_2 \supset \cdots$，存在 $N \in \mathbb N$ 使得 $i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1}$；換言之，此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。

性質

• 若 $A$ 是 $k$-代數，任何在 $k$ 上有限維的 $A$-模都是阿廷模。
• 若 $N \subset M$，且 $N$ 與 $M/N$ 皆為阿廷模，則 $M$ 為阿廷模。
• 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
• 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個例子：

令 $M := \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$，視之為 $\mathbb Z$-模。升鏈

$\langle 1/p \rangle \subset \langle 1/p^2 \rangle \subset \langle 1/p^3 \rangle \cdots$

不會固定，因此 $M$ 並非諾特模。然而我們知道 $M$ 的任何子模皆形如 $\langle 1/n \rangle$，由此可知任何降鏈皆可寫成

$\langle 1/n_1 \rangle \supset \langle 1/n_2 \rangle \supset \langle 1/n_3 \rangle \cdots$

其中 $n_{i+1} | n_i$，故將固定，於是 $M$ 是阿廷模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X