阿廷環

阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。

定義

一個環$A$稱作阿廷環，若且唯若對每個由$A$的理想構成的降鏈$\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots$，必存在$N \subset \mathbb{N}$，使得對所有的$n,m \geq N$都有$\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m$（換言之，此降鏈將會固定）。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環，A是左（右）阿廷環若且唯若A在自己的左乘法下形成一個左（右）阿廷模；對於交換環則無須分別左右。

例子

• 設$k$為一個域，若環$A$是佈於$k$上的有限維代數，則$A$是阿廷環。

基本性質

若一個環$A$是交換阿廷環，則滿足下列性質：

• $A$是諾特環。
• 每個素理想皆是極大理想。
• $A$僅有有限個素理想。
• 對每個素理想的局部化誘導出同構 $A \stackrel{\sim}{\rightarrow} \prod_\mathfrak{p} A_\mathfrak{p}$。

就代數幾何的觀點，阿廷環的譜在拓樸上只是有限多個點，但其結構層可能帶有冪零的元素，這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

文獻

• Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X