阿波羅尼奧斯圓

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圖 1 :阿波羅尼奧斯圓。每一個藍圓圈與每一個紅圓圈相互正交。每一個紅圓圈都經過點 C 與點 D 。

如右圖,阿波羅尼奧斯圓談論兩個相關的圓圈家族。第一個家族的每一個藍圓圈與第二個家族的每一個紅圓圈相互正交。這些圓圈形成了雙極坐標系。阿波羅尼奧斯圓是著名的希臘數學家阿波羅尼奧斯 (Ἀπολλώνιος) 發現的。

阿波羅尼奧斯圓圈可以由線段定義的,標記此線段為 \overline{CD}\,\! 。第一個家族的任何一個藍圓圈 Bk 所包含的每一點 Pk,離點 C 與點 D 的距離呈固定比例 k>0\,\!

CP_{k}:DP_{k}=k\,\!

不一樣圓圈的固定比例 k\,\! 必不一樣。圓圈與圓圈之間互不同心,互不相交。

每一個藍圓圈與每一個紅圓圈的直角相交,可以簡易地解釋如下:關於一個圓心為點 C 的圓圈 Q ,一家族的藍阿波羅尼奧斯圓圈的反演,造成了一組同心圓,其圓心在點 D' 。點 D 關於圓圈 Q 的反演是點 D' 。同樣地運算將一家族的紅圓圈 反演為一組從點 D' 放射出來的直線。這樣,反演將雙極坐標變換為極坐標。在極坐標裏,每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換,所以,每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。

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參考文獻[编辑]