阿特伍德機

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阿特伍德机,1905年。

阿特伍德機(Atwood machine,又譯作阿特午德機阿特午機),是由英國牧師數學家物理學家乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的[1],用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中,用來解釋物理學的原理,尤其是力學

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m1m2,及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪[2]

m_1 = m_2,機器處於力平衡的狀態。

m_2 > m_1,兩物體皆受到相同的等加速度。

等加速度的方程式[编辑]

Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性,滑輪理想(無視半徑)且無重量,那麼我們只需要考慮張力T),還有兩個物體的重量mg)。再來為了找出合力(\sum F),必須先找出個別影響兩物體的力。

m1的力: \; T-m_1g

m2的力: \; m_2g-T

\sum F=(m_2g-T)+(T-m_1g)=g(m_2-m_1)

利用牛頓第二定律,我們可以得到整個系統的等加速度方程式。

\sum F=ma

a={\sum F \over m}

\sum F=g(m_2-m_1)

\;m=(m_1+m_2)

a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 [3]

張力的方程式[编辑]

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力,只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}

例如代入m_1a = T-m_1g,我們得到

T=g{2m_1m_2\over m_1+m_2}

藉由同樣的方法,張力也可以從m_2a = m_2g-T中求得。

非理想的滑輪[编辑]

m1m2之間的重量差距很小時,滑輪的半徑(r)造成的轉動慣量I)則不可以被忽略。

滑輪的角加速度可以從以下算式求得:

 \alpha = {a\over r}

在此情況下,系統的總力矩為:

\tau_{Total}=\left(T_2 - T_1 \right)r = I \alpha + \tau_{friction}

參考[编辑]

  1. ^ 漆安慎、杜婵英. 《力学》(第二版). 高等教育出版社. 2005: 76页. ISBN 978-7-04-016624-8. 
  2. ^ Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.
  3. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.