代數擴張

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在抽象代數中，一個域擴張 $L \supset K$ （通常記作 $L / K$ ）被稱作代數擴張，若且唯若每個 $L$ 的元素都是在 $K$ 上代數的，即：滿足一個係數佈於 $K$ 的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 。

[编辑] 次數

設 $L / K$ 為任意的域擴張， $L$ 可以看作是 $K$ 上的向量空間。定義 $[L : K]$ 為其維度，稱作這個擴張的次數。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張 $L / K$ ，則 $L$ 裡的任一元素都落在一個有限子擴張內，因此一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

[编辑] 代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張 $L / K$ 中， $L$ 裡的每個元素 $α$ 都是某個多項式 $f \in K[X]$ 的根；這些多項式中次數最低者稱作 $α$ 的最小多項式（通常要求領導係數等於一，以保證唯一性）。最小多項式總是不可约多項式。

若 $f \in K[X]$ 不可約，則商環 $L : = K [X] / (f)$ 是 $K$ 的一個域擴張， $[L : K] = deg(f)$ ，而且變元 $X$ 的象是在 $f$ 在 $L$ 中的一個根，其最小多項式正是 $f$ 。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如 $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ 不外就是複數域 $\mathbb{C}$ 。

當 $f \in K[X]$ 在 $L$ 中分解成一次因子的積，則稱 $f$ 在 $L$ 中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個夠大的代數擴張 $K' / K$ 使得 $f$ 分裂； $K'$ 裡滿足此性質的最小子擴張稱作 $f$ 的分裂域， $f$ 的任兩個分裂域至多差一個 $K$ 上的同構（即：一個限制在 $K$ 上為恆等映射的環同構）。

[编辑] 正規擴張

一個代數擴張 $L / K$ 被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

固定代數閉包 $K alg$ ，任何 $K$ 上的（即在 $K$ 上是恆等映射的）域嵌入 $\sigma: L \rightarrow K^\mathrm{alg}$ 皆有 $σ(L) = L$ 。
存在一族在 $L$ 上分裂的多項式 $(f_i)_{i \in I} \subset K[X]$ ，使得 $L / K$ 由它們的根與 $K$ 生成。
任何多項式 $f \in K[X]$ 若在 $L$ 裡有根，則在 $L$ 裡分裂。

[编辑] 例子

$x 2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上的分裂域是 $\mathbb{C}$ 。
$x 3 + 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}( e^{2 \pi /3}, \sqrt[3]{2})$ 。
$(x 2 - 2)(x 2 - 3)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )$ 。
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q}$ 是正規域擴張， $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}$ 卻不是，因為後者並沒有包括 $x 3 - 2$ 的所有根，欠了 $\sqrt[3]{2} e^{2 \pi i /3}, \sqrt[3]{2} e^{- 2 \pi i /3}$ 。

[编辑] 可分擴張

設 $L / K$ 為代數擴張，如果 $α$ 的最小多項式沒有重根，則稱 $α$ 可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於 $(f\ ,\ f')\ =1$ ，這可以直接在 $K$ 中計算）。所有可分元素形成一個域 $L \supset L_s \supset K$ ， $[L : K] s : = [L s : K]$ 稱作可分次數。若 $L s = L$ 則稱 $L / K$ 是可分擴張。

當 $L / K$ 是有限擴張時，定義不可分次數 $[L : K] i : = [L : K] / [L : K] s$ 。當特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

[编辑] 伽羅瓦擴張

一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張，此時將 $L$ 在 $K$ 上的自同構群記為 $Gal(L / K): = K$ ，稱作 $L / K$ 的伽羅瓦群。就現代的觀點，伽羅瓦理論研究的乃是 $\{L/K': K' \supset K \}$ 與 $Gal(L / K)$ 的子群的對應關係，此對應可用伽羅瓦連接抽象地概括。

當伽羅瓦擴張 $L / K$ 的伽羅瓦群是阿貝爾群時，此擴張稱作是阿貝爾擴張。類域論為數域與局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。

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簡介 Galois 理論 /李華介

[编辑] 文獻

Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X